1. Encontre a interseção entre os planos x+y+z=6 e 2 x-y+3 z=5.

Passo 1

O enunciado pede a interseção de dois planos em \mathbb{R}^3, que é uma reta. Vamos usar resolução de sistema linear subdeterminado, introduzindo um parâmetro livre para uma variável.

Passo 2

Escolhemos z como parâmetro livre e escrevemos
z = t,\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Substituindo em cada plano, obtemos um sistema em x e y:
\begin{cases} x + y = 6 - t,\\\\ 2x - y = 5 - 3t. \end{cases}

Passo 4

Somando as duas equações, elimina-se y:
(x+y)+(2x-y)= (6-t)+(5-3t)\;\Longrightarrow\;3x = 11 - 4t \;\Longrightarrow\;x = \frac{11 - 4t}{3}.
Em seguida, de x+y=6-t segue
y = 6 - t - x = 6 - t - \frac{11 - 4t}{3} = \frac{7 + t}{3}.

Passo 5

Assim a reta interseção tem forma paramétrica
(x,y,z) =\Bigl(\tfrac{11-4t}{3},\,\tfrac{7+t}{3},\,t\Bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

(x,y,z) =\Bigl(\tfrac{11-4t}{3},\,\tfrac{7+t}{3},\,t\Bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados