1. Verifique se a reta r:\left\{\begin{array}{l}x=t \\\ y=1+2 t \\\ z=-1+3 t\end{array}\right. em que t \in \mathbb{R}, intersecta o plano \pi: x-y+z= 2. Se sim, determine o ponto de interseção.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
r:\begin{cases} x=t,\\\ y=1+2t,\\\ z=-1+3t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R},
e o plano
\pi: x - y + z = 2.
Para verificar se há interseção, basta substituir as coordenadas de r na equação de \pi e ver se existe um t real que satisfaça a igualdade.

Passo 2

Substituindo x=t, y=1+2t e z=-1+3t em x - y + z = 2, temos
t - (1+2t) + (-1+3t) = 2.
Agora simplificamos:
t - 1 - 2t - 1 + 3t = 2 \quad\Longrightarrow\quad ( t -2t +3t ) -2 = 2 \quad\Longrightarrow\quad 2t - 2 = 2 \quad\Longrightarrow\quad 2t = 4 \quad\Longrightarrow\quad t = 2.

Passo 3

Como t=2 é real, a reta intersecta o plano. Para achar o ponto, substituímos t=2 na reta:
x = 2,\quad y = 1 + 2\cdot 2 = 5,\quad z = -1 + 3\cdot 2 = 5.

Resposta

Sim. O ponto de interseção é (2,5,5).

Exercícios relacionados