Verifique se as retas de equações r: \frac{x-2}{2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-1}{4} e s:\left\{\begin{aligned} x & =5+t \\\ y & =2-t \\\ z & =7-2 t\end{aligned}\right., t \in \mathbb{R}, são coplanares.
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço e pede para verificar se são coplanares. As informações fornecidas são:
Reta r\) na forma simétrica:
\[r:\;\frac{x-2}{2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-1}{4}.
O que se pede: determinar se existe um plano que contém simultaneamente r\] e \(s (ou seja, decidir se as retas são coplanares).]
Passo 2
Vou extrair, de cada reta, um ponto que pertence a ela e o vetor diretor (isso é padrão e essencial para trabalhar com retas no espaço).
Para r a forma simétrica \dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-4}{3}=\dfrac{z-1}{4} corresponde a um ponto de passagem A e vetor diretor \mathbf{u}:
Ponto A=(2,4,1).
Vetor diretor \mathbf{u}=(2,3,4) (os denominadores indicam a direção).
Para s tomando t=0 obtém-se um ponto B e o coeficiente de t dá o vetor diretor \mathbf{v}:
Ponto B=(5,2,7).
Vetor diretor \mathbf{v}=(1,-1,-2).
Passo 3
Critério prático e rápido para testar coplanaridade de duas retas não paralelas no espaço:
Sejam \mathbf{u} e \mathbf{v} os vetores diretores das retas e \mathbf{w} o vetor ligando um ponto de uma reta a um ponto da outra (por exemplo \mathbf{w}=\overrightarrow{AB}).
As três retas/vetores estão no mesmo plano se, e somente se, \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} forem linearmente dependentes, ou seja, se o produto misto (ou triplo escalar)
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}
for igual a zero.
Explicação breve e intuitiva: (\mathbf{u}\times\mathbf{v}) é um vetor perpendicular ao plano gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}; o produto escalar desse vetor com \mathbf{w} mede a componente de \mathbf{w} nessa direção perpendicular — se for zero, \mathbf{w} está no mesmo plano gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}, logo as retas são coplanares. Se for diferente de zero, \mathbf{w} tem componente fora desse plano e as retas são não coplanares (linhas cruzadas, “skew”).
Passo 4
Calculemos o vetor \mathbf{w}=\overrightarrow{AB}:
\mathbf{w}=B-A=(5-2,\;2-4,\;7-1)=(3,-2,6).
Passo 5
Calculemos o produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} explicitamente. Com \mathbf{u}=(2,3,4) e \mathbf{v}=(1,-1,-2):
Conclusão lógica: como (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}\neq 0, os vetores \mathbf{u}, \mathbf{v} e \mathbf{w} são linearmente independentes, ou seja, não existe um plano que contenha simultaneamente as duas retas. Portanto as retas não são coplanares — elas são retas cruzadas (skew lines).
Força aí: o procedimento é sempre o mesmo na prova — pegue vetores diretores, um vetor ligando pontos das retas e calcule o produto misto; se der zero, são coplanares; se não, não são.
Resposta
Não — as retas não são coplanares (produto misto =-52\neq0).