Determine uma equação da reta que passa pelo ponto Q=(2,1,0), é concorrente com a reta s : \left\{\begin{array}{rl}x & =2+t \\\ y & =0+3 t \\\ z & =0+t\end{array}, t \in \mathbb{R}\right. e forma ângulos iguais com os eixos x e y.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a equação da reta procurada:
  • Ponto por onde a reta deve passar: Q=(2,1,0).
  • Reta s com equações paramétricas \displaystyle s:\;x=2+t,\;y=3t,\;z=t,\;t\in\mathbb{R}.
    Ou seja, um ponto genérico de s é R(t)=(2+t,\,3t,\,t).
  • A reta procurada deve ser concorrente com s, isto é, deve intersectar s em algum ponto R (existência de um t_0 tal que R=R(t_0) pertence à reta procurada).
  • A reta procurada deve formar ângulos iguais com os eixos x e y.
Portanto, a tarefa é: achar todas as retas que passam por Q, intersectam s em algum ponto R=R(t_0) e têm ângulo com o eixo x igual ao ângulo com o eixo y.

Passo 2

Modelo geométrico e variável incógnita.
  • Se a reta procurada passa por Q e por R=R(t_0)=(2+t_0,\,3t_0,\,t_0), então um vetor diretor da reta é
\vec{u}=R-Q=(2+t_0,\,3t_0,\,t_0)-(2,\,1,\,0)=(t_0,\,3t_0-1,\,t_0).
  • Assim a incógnita principal é o parâmetro t_0 que determina o ponto de interseção com s e, consequentemente, o vetor diretor \vec{u} da reta procurada.

Passo 3

Condição "formas ângulos iguais com os eixos x e y" — traduzindo para vetores.
  • O cosseno do ângulo entre uma reta (diretor \vec{u}=(u_x,u_y,u_z)) e o eixo x é
\cos\alpha_x=\frac{u_x}{\|\vec{u}\|},
e o cosseno com o eixo y é
\cos\alpha_y=\frac{u_y}{\|\vec{u}\|},
onde \|\vec{u}\|=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}.
  • Como o ângulo entre duas direções é tomado em [0,\pi/2] quando consideramos o “ângulo com um eixo” (ou seja, usamos o valor absoluto das componentes para comparar ângulos), a condição “ângulos iguais” equivale a igualar os valores absolutos dos cossenos. Como \|\vec{u}\| é comum, isso reduz a condição a
|u_x|=|u_y|.
  • Portanto, para \vec{u}=(t_0,\,3t_0-1,\,t_0) devemos ter
|t_0|=|3t_0-1|.

Passo 4

Resolver a equação em valor absoluto: duas possibilidades algebraicas.
A equação |t_0|=|3t_0-1| dá duas equações sem valor absoluto:
  1. t_0=3t_0-1.
  2. t_0=-(3t_0-1).
Resolver cada uma:
  • Para t_0=3t_0-1 temos
t_0-3t_0=-1\quad\Rightarrow\quad -2t_0=-1\quad\Rightarrow\quad t_0=\tfrac{1}{2}.
  • Para t_0=-(3t_0-1) temos
t_0=-3t_0+1\quad\Rightarrow\quad 4t_0=1\quad\Rightarrow\quad t_0=\tfrac{1}{4}.
Portanto há duas possíveis interseções t_0=\tfrac{1}{2} e t_0=\tfrac{1}{4}, que dão possivelmente duas retas distintas.

Passo 5

Determinar os vetores diretores correspondentes e simplificar.
  • Caso t_0=\tfrac{1}{2}:
\vec{u}=\Big(t_0,\,3t_0-1,\,t_0\Big)=\Big(\tfrac{1}{2},\,\tfrac{3}{2}-1,\,\tfrac{1}{2}\Big)=\Big(\tfrac{1}{2},\,\tfrac{1}{2},\,\tfrac{1}{2}\Big).
Um vetor diretor proporcional (mais simples) é \vec{u}_1=(1,1,1).
  • Caso t_0=\tfrac{1}{4}:
\vec{u}=\Big(\tfrac{1}{4},\,\tfrac{3}{4}-1,\,\tfrac{1}{4}\Big)=\Big(\tfrac{1}{4},\,-\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{4}\Big).
Um vetor diretor proporcional é \vec{u}_2=(1,-1,1).

Passo 6

Escrever as equações paramétricas das retas que passam por Q e têm esses vetores diretores.
  • Para \vec{u}_1=(1,1,1) (caso t_0=\tfrac{1}{2}), a reta r_1 passando por Q=(2,1,0) é
r_1:\quad x=2+\lambda,\quad y=1+\lambda,\quad z=0+\lambda,\quad \lambda\in\mathbb{R}.
  • Para \vec{u}_2=(1,-1,1) (caso t_0=\tfrac{1}{4}), a reta r_2 passando por Q=(2,1,0) é
r_2:\quad x=2+\mu,\quad y=1-\mu,\quad z=0+\mu,\quad \mu\in\mathbb{R}.
Observação: ambas as retas realmente intersectam s nos pontos correspondentes aos t_0 encontrados. Por exemplo, para t_0=\tfrac{1}{2} o ponto de interseção é R=(2+\tfrac{1}{2},\,\tfrac{3}{2},\,\tfrac{1}{2}) e R-Q=(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}) que é múltiplo de (1,1,1).

Resposta

r_1:\;x=2+\lambda,\;y=1+\lambda,\;z=\lambda,\;\lambda\in\mathbb{R}.
r_2:\;x=2+\mu,\;y=1-\mu,\;z=\mu,\;\mu\in\mathbb{R}.

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