Determine uma equação da reta que passa pelo ponto Q=(2,1,0), é concorrente com a reta s : \left\{\begin{array}{rl}x & =2+t \\\ y & =0+3 t \\\ z & =0+t\end{array}, t \in \mathbb{R}\right. e forma ângulos iguais com os eixos x e y.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a equação da reta procurada:
Ponto por onde a reta deve passar: Q=(2,1,0).
Reta s com equações paramétricas \displaystyle s:\;x=2+t,\;y=3t,\;z=t,\;t\in\mathbb{R}.
Ou seja, um ponto genérico de s é R(t)=(2+t,\,3t,\,t).
A reta procurada deve ser concorrente com s, isto é, deve intersectar s em algum ponto R (existência de um t_0 tal que R=R(t_0) pertence à reta procurada).
A reta procurada deve formar ângulos iguais com os eixos x e y.
Portanto, a tarefa é: achar todas as retas que passam por Q, intersectam s em algum ponto R=R(t_0) e têm ângulo com o eixo x igual ao ângulo com o eixo y.
Passo 2
Modelo geométrico e variável incógnita.
Se a reta procurada passa por Q e por R=R(t_0)=(2+t_0,\,3t_0,\,t_0), então um vetor diretor da reta é
Assim a incógnita principal é o parâmetro t_0 que determina o ponto de interseção com s e, consequentemente, o vetor diretor \vec{u} da reta procurada.
Passo 3
Condição "formas ângulos iguais com os eixos x e y" — traduzindo para vetores.
O cosseno do ângulo entre uma reta (diretor \vec{u}=(u_x,u_y,u_z)) e o eixo x é
\cos\alpha_x=\frac{u_x}{\|\vec{u}\|},
e o cosseno com o eixo y é
\cos\alpha_y=\frac{u_y}{\|\vec{u}\|},
onde \|\vec{u}\|=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}.
Como o ângulo entre duas direções é tomado em [0,\pi/2] quando consideramos o “ângulo com um eixo” (ou seja, usamos o valor absoluto das componentes para comparar ângulos), a condição “ângulos iguais” equivale a igualar os valores absolutos dos cossenos. Como \|\vec{u}\| é comum, isso reduz a condição a
|u_x|=|u_y|.
Portanto, para \vec{u}=(t_0,\,3t_0-1,\,t_0) devemos ter
|t_0|=|3t_0-1|.
Passo 4
Resolver a equação em valor absoluto: duas possibilidades algebraicas.
A equação |t_0|=|3t_0-1| dá duas equações sem valor absoluto:
Observação: ambas as retas realmente intersectam s nos pontos correspondentes aos t_0 encontrados. Por exemplo, para t_0=\tfrac{1}{2} o ponto de interseção é R=(2+\tfrac{1}{2},\,\tfrac{3}{2},\,\tfrac{1}{2}) e R-Q=(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}) que é múltiplo de (1,1,1).