Determine a equação da reta interseção dos planos, nos seguintes casos: \left\{\begin{aligned} x-2 y-z- & =0 \\\\ 2 x+3 y+13 & =0\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá dois planos e pede a equação da reta interseção entre eles. As informações fornecidas são (interpretei o traço após o z\) como ausência de constante, isto é, a equação é igual a zero):
\[\begin{cases} x-2y-z=0,\\[4pt] 2x+3y+13=0. \end{cases}
O que se pede: determinar a reta que é a interseção desses dois planos (uma reta em (\mathbb{R}^3]).]
Passo 2
Primeiro passo concreto: extrair os vetores normais dos planos. Para um plano escrito como ax+by+cz+d=0, o vetor normal é (a,b,c) — é o vetor perpendicular ao plano e dado pelos coeficientes de x,y,z.
Aqui:
\mathbf{n}_1=(1,-2,-1)\quad\text{(do primeiro plano)}
\mathbf{n}_2=(2,3,0)\quad\text{(do segundo plano)}
A reta interseção é paralela a qualquer vetor que seja perpendicular aos dois normais, isto é, ao produto vetorial \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2. Vou calcular esse produto vetorial — ele nos dá o vetor diretor da reta.
Passo 3
Cálculo do produto vetorial \mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2. Usando a fórmula (determinante com as bases \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}):
Portanto o vetor diretor da reta é \mathbf{v}=(3,-2,7).]
Passo 4
Agora precisamos de um ponto qualquer que satisfaça simultaneamente as duas equações (um ponto da reta). Para isso resolvemos o sistema. Uma maneira prática é parametrizar uma variável; escolho [z=t) e resolvo para x e y em função de t.
Podemos escolher um valor conveniente de t\] para obter um ponto com coordenadas inteiras. Tomando \(t=4 (porque simplifica os numeradores: 3\cdot4-26=-14, -2\cdot4-13=-21), obtemos
x=-2,\qquad y=-3,\qquad z=4.
Portanto um ponto da reta é P(-2,-3,4). (Verificação rápida: substituir em x-2y-z= -2-2(-3)-4=-2+6-4=0 e em 2x+3y+13=2(-2)+3(-3)+13=-4-9+13=0, ok.)]
Passo 5
Com um ponto P(-2,-3,4) e o vetor diretor \mathbf{v}=(3,-2,7), escrevemos a equação da reta em forma paramétrica e em forma simétrica.