Determine a equação da reta interseção dos planos, nos seguintes casos:
\left\{\begin{aligned} x-2 y-z- & =0 \\\\ 2 x+3 y+13 & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá dois planos e pede a equação da reta interseção entre eles. As informações fornecidas são (interpretei o traço após o z\) como ausência de constante, isto é, a equação é igual a zero): \[\begin{cases} x-2y-z=0,\\[4pt] 2x+3y+13=0. \end{cases}
O que se pede: determinar a reta que é a interseção desses dois planos (uma reta em (\mathbb{R}^3]).]

Passo 2

Primeiro passo concreto: extrair os vetores normais dos planos. Para um plano escrito como ax+by+cz+d=0, o vetor normal é (a,b,c) — é o vetor perpendicular ao plano e dado pelos coeficientes de x,y,z.
Aqui:
\mathbf{n}_1=(1,-2,-1)\quad\text{(do primeiro plano)}
\mathbf{n}_2=(2,3,0)\quad\text{(do segundo plano)}
A reta interseção é paralela a qualquer vetor que seja perpendicular aos dois normais, isto é, ao produto vetorial \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2. Vou calcular esse produto vetorial — ele nos dá o vetor diretor da reta.

Passo 3

Cálculo do produto vetorial \mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2. Usando a fórmula (determinante com as bases \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}):
\mathbf{v}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 1 & -2 & -1\\[4pt] 2 & 3 & 0 \end{vmatrix}.
Expandindo:
\mathbf{v}=\mathbf{i}\big((-2)\cdot0-(-1)\cdot3\big)-\mathbf{j}\big(1\cdot0-(-1)\cdot2\big)+\mathbf{k}\big(1\cdot3-(-2)\cdot2\big).
Calculando cada componente:
\mathbf{v}=\mathbf{i}(0+3)-\mathbf{j}(0+2)+\mathbf{k}(3+4)=(3,-2,7).
Portanto o vetor diretor da reta é \mathbf{v}=(3,-2,7).]

Passo 4

Agora precisamos de um ponto qualquer que satisfaça simultaneamente as duas equações (um ponto da reta). Para isso resolvemos o sistema. Uma maneira prática é parametrizar uma variável; escolho [z=t) e resolvo para x e y em função de t.
Da primeira equação x-2y-z=0 segue
x=2y+z.
Substituindo na segunda 2x+3y+13=0:
2(2y+z)+3y+13=0 \quad\Rightarrow\quad 4y+2z+3y+13=0.
Assim
7y+2z+13=0 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{-2z-13}{7}.
Usando x=2y+z:
x=2\cdot\frac{-2z-13}{7}+z=\frac{-4z-26}{7}+z=\frac{3z-26}{7}.
Então, tomando z=t, temos a parametrização dos pontos comuns:
\begin{cases} x=\dfrac{3t-26}{7},\\[6pt] y=\dfrac{-2t-13}{7},\\[6pt] z=t. \end{cases}
Podemos escolher um valor conveniente de t\] para obter um ponto com coordenadas inteiras. Tomando \(t=4 (porque simplifica os numeradores: 3\cdot4-26=-14, -2\cdot4-13=-21), obtemos
x=-2,\qquad y=-3,\qquad z=4.
Portanto um ponto da reta é P(-2,-3,4). (Verificação rápida: substituir em x-2y-z= -2-2(-3)-4=-2+6-4=0 e em 2x+3y+13=2(-2)+3(-3)+13=-4-9+13=0, ok.)]

Passo 5

Com um ponto P(-2,-3,4) e o vetor diretor \mathbf{v}=(3,-2,7), escrevemos a equação da reta em forma paramétrica e em forma simétrica.
Forma paramétrica (com parâmetro s):
\begin{cases} x=-2+3s,\\[4pt] y=-3-2s,\\[4pt] z=4+7s. \end{cases}
Forma simétrica:
\frac{x+2}{3}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-4}{7}.
Também se pode escrever vetorialmente:
\mathbf{r}(s)=(-2,-3,4)+s(3,-2,7).]

Passo 6

Pequena verificação: o vetor diretor \mathbf{v}=(3,-2,7) deve ser ortogonal a \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2. Calculando produtos escalar:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}_1=3\cdot1+(-2)\cdot(-2)+7\cdot(-1)=3+4-7=0,
\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}_2=3\cdot2+(-2)\cdot3+7\cdot0=6-6+0=0.
Está consistente: \mathbf{v} é perpendicular aos dois normais.

Resposta

Forma paramétrica:
x=-2+3s, y=-3-2s, z=4+7s.
Forma simétrica:
\dfrac{x+2}{3}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z-4}{7}.

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