Dados A=(2,2,5), u=(1,-1,3) e v=(2,2,3), escreva as equações paramétricas da reta r que passa por A, e é paralela ao vetor v-u.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Ponto A=(2,2,5).
  • Vetor \,u=(1,-1,3).
  • Vetor \,v=(2,2,3).
O que o problema pede:
  • Escrever as equações paramétricas da reta r que passa por A e é paralela ao vetor v-u.

Passo 2

Entender o vetor direção: a reta é paralela ao vetor v-u. Para obter v-u faz-se a subtração componente a componente. Se \,v=(v_1,v_2,v_3) e \,u=(u_1,u_2,u_3), então
v-u=(v_1-u_1,\;v_2-u_2,\;v_3-u_3).
Aplicando aos dados:
v-u=(2-1,\;2-(-1),\;3-3)=(1,\;3,\;0).

Passo 3

Relembrando a forma paramétrica de uma reta no espaço: se a reta passa por um ponto A=(x_0,y_0,z_0)\) e tem vetor direção \(d=(d_1,d_2,d_3)\), então um parâmetro real \(t\) descreve a reta por \[r(t)= (x_0,y_0,z_0) + t\,(d_1,d_2,d_3).
Isso é equivalente ao sistema de equações paramétricas
\begin{cases} x = x_0 + d_1\,t,\\[4pt] y = y_0 + d_2\,t,\\[4pt] z = z_0 + d_3\,t, \end{cases}
onde t\in\mathbb{R}\]. Aqui \(t é só um número que indica quanto “anda” da posição inicial A na direção d.]

Passo 4

Agora aplico a fórmula com A=(2,2,5) e a direção d=v-u=(1,3,0). Substituindo em cada componente:
\begin{cases} x = 2 + 1\cdot t = 2 + t,\\[4pt] y = 2 + 3\cdot t = 2 + 3t,\\[4pt] z = 5 + 0\cdot t = 5. \end{cases}]

Passo 5

Interpretação prática: a reta varia em x e y conforme t, mas z fica constante em 5 (isso acontece porque a componente z do vetor direção é zero). O parâmetro t percorre todos os reais para descrever toda a reta: t\in\mathbb{R}.

Resposta

x=2+t
y=2+3t
z=5,\quad t\in\mathbb{R}

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