Seja \pi o plano que contém o ponto A=(3,7,1) e é paralelo a \vec{u}=(1,1,1) e \vec{v}=(1,1,0).
(a) Obtenha duas equações vetoriais de \pi.
(b) Obtenha equações paramétricas de \pi.
(c) Verifique se o ponto (1,2,2) pertence a \pi.
(d) Verifique se o vetor \vec{w}=(2,2,5) é paralelo a \pi.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
Ponto A=(3,7,1) pertence ao plano \pi.
Dois vetores paralelos ao plano são \vec{u}=(1,1,1) e \vec{v}=(1,1,0).
O que o enunciado pede:
(a) duas equações vetoriais de \pi;
(b) equações paramétricas de \pi;
(c) verificar se o ponto (1,2,2) pertence a \pi;
(d) verificar se o vetor \vec{w}=(2,2,5) é paralelo a \pi.
Informações úteis que já tenho aqui e que vou usar: um plano pode ser escrito vetorialmente como um ponto qualquer do plano somado a combinações lineares de dois vetores diretores (desde que esses vetores sejam linearmente independentes). Também posso obter um vetor normal ao plano calculando o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}; um vetor é paralelo ao plano se for ortogonal ao vetor normal do plano (produto escalar zero) ou, equivalentemente, se puder ser escrito como combinação linear dos vetores diretores.
Passo 2
Construindo a primeira equação vetorial do plano: apresentar a ideia e escrever a fórmula.
Explicação do conceito (passo-a-passo): chamo \vec{r}=(x,y,z) o vetor posição de um ponto genérico do plano. Se A é um ponto do plano e \vec{u},\vec{v} são vetores diretores, os pontos do plano são exatamente os vetores
\vec{r}=\vec{A}+s\,\vec{u}+t\,\vec{v},
onde s,t\in\mathbb{R} são parâmetros. Aqui \vec{A}=(3,7,1), \vec{u}=(1,1,1), \vec{v}=(1,1,0). Substituindo,
\vec{r}=(3,7,1)+s(1,1,1)+t(1,1,0).
Isto é uma equação vetorial do plano; cada par (s,t) dá um ponto do plano.
Passo 3
Por que dá para escrever outra equação vetorial? Qualquer par de vetores diretores linearmente independentes gera o mesmo plano. Posso trocar \vec{v} por \vec{v}-\vec{u} se isso simplificar.
Calculo \vec{v}-\vec{u}=(1,1,0)-(1,1,1)=(0,0,-1). Esse vetor é claramente independente de \vec{u} (terceira coordenada diferente), então também é um bom vetor diretor.
Logo outra equação vetorial equivalente é
\vec{r}=(3,7,1)+\alpha(1,1,1)+\beta(0,0,-1),
onde \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Aqui usei outros nomes de parâmetros (\alpha,\beta) só para mostrar uma segunda forma.
Passo 4
Agora obtenho as equações paramétricas a partir da primeira equação vetorial. Desenvolvendo componente a componente:
Da equação
\vec{r}=(3,7,1)+s(1,1,1)+t(1,1,0)
temos, escrevendo \vec{r}=(x,y,z),
x=3+s+t,
y=7+s+t,
z=1+s.
Explicando o que cada letra significa: s e t são parâmetros reais; para cada escolha de s,t obtemos um ponto (x,y,z) do plano. Essas três igualdades juntas são as equações paramétricas do plano (cada uma dá a coordenada x,y,z em função dos parâmetros).
Passo 5
Também posso escrever equações paramétricas a partir da segunda equação vetorial (usando \alpha,\beta):
Da equação
\vec{r}=(3,7,1)+\alpha(1,1,1)+\beta(0,0,-1)
temos
x=3+\alpha,
y=7+\alpha,
z=1+\alpha-\beta.
Isso é útil porque mostra uma parametrização com um vetor diretor vertical simples (0,0,-1).
Passo 6
Verificação se o ponto P=(1,2,2) pertence ao plano — método 1: tentar encontrar s,t que satisfaçam as equações paramétricas do Passo 4.
Usando
x=3+s+t,\quad y=7+s+t,\quad z=1+s,
substituo x=1,y=2,z=2. Da terceira equação:
2=1+s \quad\Rightarrow\quad s=1.
Com s=1, das duas primeiras:
1=3+1+t \quad\Rightarrow\quad t=1-4=-3,
2=7+1+t \quad\Rightarrow\quad t=2-8=-6.
Obtemos dois valores diferentes para t (-3 e -6), o que é impossível. Portanto não existe par (s,t) que gere P. Conclusão por esse método: P não pertence ao plano.
Passo 7
Verificação alternativa (e mais curta) usando o vetor normal: primeiro calculo o vetor normal \vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}.
(ou qualquer múltiplo não nulo, por exemplo (1,-1,0) também é normal).
Agora calculo \overrightarrow{AP}=\vec{P}-\vec{A}=(1-3,\;2-7,\;2-1)=(-2,-5,1). Se P estivesse no plano, \overrightarrow{AP} seria ortogonal ao normal; isto é, o produto escalar \overrightarrow{AP}\cdot\vec{n} deveria ser zero. Calculo:
Portanto \overrightarrow{AP} não é ortogonal ao normal, logo P não pertence ao plano. Isso confirma o resultado do Passo 6.]
Passo 8
Verificação se \vec{w}=(2,2,5) é paralelo ao plano.
Explicação do método: um vetor \vec{w} é paralelo ao plano se for combinação linear dos vetores diretores \vec{u},\vec{v} (isto é, se existir \alpha,\beta tais que \alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{w}), ou, equivalentemente, se \vec{w} for ortogonal ao vetor normal \vec{n} (produto escalar zero).
Primeiro uso a testagem com o normal (mais rápida). Já calculei \vec{n}=(-1,1,0). Faço o produto escalar:
Como o produto escalar é zero, \vec{w} é ortogonal ao normal, então \vec{w} é paralelo ao plano. Conclusão: \vec{w} é paralelo a \pi.
Para reforçar, resolvo também \alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{w}: das componentes
\alpha+\beta=2\quad(\text{coordenada }x),
\alpha+\beta=2\quad(\text{coordenada }y),
\alpha+0\cdot\beta=5\quad(\text{coordenada }z),
daqui \alpha=5 e então \beta=2-\alpha=2-5=-3. Esses \alpha,\beta satisfazem todas as componentes, logo \vec{w}=5\vec{u}-3\vec{v}. Isso confirma que \vec{w} pertence ao subespaço gerado por \vec{u},\vec{v}, isto é, \vec{w} é paralelo ao plano.
Passo 9
Resumo final (em forma pronta para a prova):
uma forma vetorial do plano: \vec{r}=(3,7,1)+s(1,1,1)+t(1,1,0), s,t\in\mathbb{R};
outra forma vetorial equivalente: \vec{r}=(3,7,1)+\alpha(1,1,1)+\beta(0,0,-1), \alpha,\beta\in\mathbb{R};
equações paramétricas (a partir da primeira): x=3+s+t,\;y=7+s+t,\;z=1+s;
alternativa paramétrica (a partir da segunda): x=3+\alpha,\;y=7+\alpha,\;z=1+\alpha-\beta;
o ponto (1,2,2) NÃO pertence ao plano;
o vetor \vec{w}=(2,2,5) É paralelo ao plano.
Resposta
(a) \vec{r}=(3,7,1)+s(1,1,1)+t(1,1,0),\\ s,t\in\mathbb{R}. \qquadAlternativa: \vec{r}=(3,7,1)+\alpha(1,1,1)+\beta(0,0,-1),\\ \alpha,\beta\in\mathbb{R}.
(b) x=3+s+t,\quad y=7+s+t,\quad z=1+s,\\ s,t\in\mathbb{R}. \qquadAlternativa: x=3+\alpha,\quad y=7+\alpha,\quad z=1+\alpha-\beta,\\ \alpha,\beta\in\mathbb{R}.
(c) Não — o ponto (1,2,2) não pertence a \pi.
(d) Sim — \vec{w}=(2,2,5) é paralelo a \pi (por exemplo \vec{w}=5\vec{u}-3\vec{v} e \vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0).