3)(\mathbf{1 , 0}) Determine \mathrm{o}(\mathrm{s}) valor(es) de \alpha para que os vetores \vec{u}=(\alpha, 2,0), \vec{v}=(2, \alpha, 0) e \vec{w}=(1,1,5) sejam coplanares.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
\vec{u}=(\alpha,2,0),\qquad \vec{v}=(2,\alpha,0),\qquad \vec{w}=(1,1,5).
A pergunta é: determinar o(s) valor(es) de \alpha para que \vec{u},\vec{v},\vec{w} sejam coplanares (isto é, todos pertencentes a um mesmo plano).

Passo 2

Vamos esclarecer o critério que vamos usar (com calma, passo a passo). Três vetores em \mathbb{R}^3 são coplanares se, e somente se, o produto misto (ou produto triplo escalar) for zero. O produto misto de \vec{u},\vec{v},\vec{w} é definido por
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}).
Geometricamente, esse valor é o volume (com sinal) do paralelepípedo formado pelos três vetores; se o volume é zero, eles estão no mesmo plano. Álgebraicamente, esse produto pode ser calculado como o determinante da matriz 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores:
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3\\[4pt] v_1 & v_2 & v_3\\[4pt] w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}.
Portanto, a condição de coplanaridade é que esse determinante seja igual a zero.]

Passo 3

Escrevendo a matriz com as componentes dadas:
\begin{vmatrix} \alpha & 2 & 0\\[4pt] 2 & \alpha & 0\\[4pt] 1 & 1 & 5 \end{vmatrix}.
Observação útil: a terceira coluna tem entradas 0,0,5. Isso facilita muito o cálculo do determinante: ao expandir pela terceira coluna, só o último cofator contribui (os dois primeiros termos são multiplicados por zero).]

Passo 4

Expandindo o determinante pela terceira coluna (posição (3,3) tem sinal (-1)^{3+3}=+1):
\begin{vmatrix} \alpha & 2 & 0\\[4pt] 2 & \alpha & 0\\[4pt] 1 & 1 & 5 \end{vmatrix} = 5\cdot \begin{vmatrix} \alpha & 2\\[4pt] 2 & \alpha \end{vmatrix}.
Aqui usei que o menor complementar do elemento 5 (última linha, última coluna) é a matriz 2\times2 formada pelos elementos restantes.]

Passo 5

Calcule agora o determinante 2\times2. Para uma matriz \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}, o determinante é ad-bc. Aplicando a \begin{pmatrix}\alpha & 2\\[4pt]2 & \alpha\end{pmatrix} obtemos:
\begin{vmatrix} \alpha & 2\\[4pt] 2 & \alpha \end{vmatrix} = \alpha\cdot\alpha - 2\cdot 2 = \alpha^2 - 4.
Logo o determinante 3\times3 vale
5(\alpha^2 - 4).]

Passo 6

A condição de coplanaridade é que esse determinante seja zero:
5(\alpha^2 - 4) = 0.
Dividindo por 5 (que é diferente de zero) temos
\alpha^2 - 4 = 0.
Isto é uma equação quadrática simples; somando 4 aos dois lados e extraindo raiz quadrada:
\alpha^2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \pm 2.

Passo 7

Fazer uma checagem intuitiva ajuda a consolidar: se \alpha=2 então \vec{u}=(2,2,0) e \vec{v}=(2,2,0), ou seja, \vec{u}=\vec{v} e claramente eles estão no mesmo plano com \vec{w}. Se \alpha=-2 então \vec{u}=(-2,2,0) e \vec{v}=(2,-2,0), que são múltiplos um do outro ( \vec{u}=-\vec{v}), de novo tornando os três vetores coplanares. Essas verificações são consistentes com nossas soluções.

Resposta

\alpha=2
\alpha=-2

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