Verifique se (
) é um subcorpo de (
) em cada um dos seguintes casos:
(OBS.:
é um subcorpo de
quando ambos são corpos e
)
c)
(OBS.:
c)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subcorpo de
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é o conjunto de todos os números da forma com .\n
O que se pergunta: - Decidir se
é um subcorpo (subfield) de ; ou seja, se e tem as mesmas operações de soma e produto que e, além disso, é fechado sob soma, produto, e formação de inversos (aditivo e multiplicativo quando não nulo).
Passo 2
Lembrete das condições essenciais para
ser subcorpo de
(vou explicar de forma bem prática):
-
deve conter e . -
deve ser fechado sob adição: se então . -
deve ser fechado sob multiplicação: se então . - Para todo
existe (inverso aditivo). - Para todo
com existe (inverso multiplicativo).\n
Basta encontrar uma dessas propriedades que falhe para concluir quenão é subcorpo. Vou checar algumas propriedades básicas e depois atacar a multiplicação / inversos, que é onde a armadilha costuma estar.
Passo 3
Verificação rápida das propriedades fáceis (essas geralmente funcionam):
-
porque com . -
porque com . - Fechamento por adição: se
e com e , então
e como
e
, temos
.
- Inverso aditivo: para
temos
porque
.
Portanto as propriedades aditivas e a presença de estão garantidas.
Portanto as propriedades aditivas e a presença de
Passo 4
Agora a multiplicação: calcule o produto genérico de dois elementos de
. Para
e
com
e
,
Note o termo
. Para que
tenha a forma
(com
), é necessário que
possa ser escrito como combinação linear
com
. Se isso não for possível, a multiplicação não fecha em
.
Passo 5
Vou mostrar explicitamente que
. Uma maneira curta é dar um contraexemplo concreto: pegue
(ou seja
). Então
Se
fosse fechado sob multiplicação, teríamos
. Suponha, por absurdo, que exista
tais que
Então
seria raiz do polinômio de grau
com coeficientes racionais. Isso implicaria que o grau algébrico de
sobre
seria
. Mas sabemos que o grau de
sobre
é
; em particular,
não pode satisfazer nenhum polinômio não nulo de grau
ou
com coeficientes racionais.
Passo 6
Justificativa de por que o grau de
sobre
é
(ou seja, por que o polinômio mínimo tem grau
). Considere o polinômio
Aplicando o critério de Eisenstein com o primo
:
divide todos os coeficientes de
exceto o coeficiente líder (os coeficientes de
e
são
, divisíveis por
, e o termo constante é
, divisível por
), e
não divide o termo constante
. Portanto
é irreducível sobre
. Como
, o polinômio mínimo de
sobre
tem grau
. Logo
não pode ser raiz de nenhum polinômio de grau menor que
com coeficientes racionais. Isso contradiz a suposição de que
com
, porque essa suposição colocaria
como raiz de um polinômio de grau
.
Passo 7
Conclusão a partir do contraditório: não existem
tais que
. Portanto
. Como mostrado no Passo 4, já que o produto de dois elementos de
pode produzir o termo
(por exemplo
),
não é fechado sob multiplicação. Logo
falha em uma das propriedades necessárias para ser subcorpo.
Passo 8
Complemento que reforça a falha: a inversa multiplicativa de
também não pertence a
. De fato, usando
, temos
Se
, então
(pois dividir por
não traz o elemento para dentro de
se
já não estava). Assim há elementos não nulos de
(por exemplo
) que não têm inverso em
, outra forma de ver que
não é subcorpo.
Resposta
Não;
não é subcorpo de
.