Verifique se ( S,+, \cdot ) é um subcorpo de ( \mathbb{R},+, \cdot ) em cada um dos seguintes casos:
(OBS.: S é um subcorpo de K quando ambos são corpos e S \subset K )
c) S=\{a+b \sqrt[3]{3} \mid a, b \in \mathbb{Q}\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se S=\{a+b\sqrt[3]{3} \mid a,b\in\mathbb{Q}\} é um subcorpo de \mathbb{R}.\n
Informações dadas:
  • S é o conjunto de todos os números da forma a+b\sqrt[3]{3} com a,b\in\mathbb{Q}.\n
    O que se pergunta:
  • Decidir se S é um subcorpo (subfield) de \mathbb{R}; ou seja, se S\subset\mathbb{R} e S tem as mesmas operações de soma e produto que \mathbb{R} e, além disso, é fechado sob soma, produto, e formação de inversos (aditivo e multiplicativo quando não nulo).

Passo 2

Lembrete das condições essenciais para S ser subcorpo de \mathbb{R} (vou explicar de forma bem prática):
  • S deve conter 0 e 1.
  • S deve ser fechado sob adição: se x,y\in S então x+y\in S.
  • S deve ser fechado sob multiplicação: se x,y\in S então xy\in S.
  • Para todo x\in S existe -x\in S (inverso aditivo).
  • Para todo x\in S com x\neq 0 existe x^{-1}\in S (inverso multiplicativo).\n
    Basta encontrar uma dessas propriedades que falhe para concluir que S não é subcorpo. Vou checar algumas propriedades básicas e depois atacar a multiplicação / inversos, que é onde a armadilha costuma estar.

Passo 3

Verificação rápida das propriedades fáceis (essas geralmente funcionam):
  • 0\in S porque 0 = 0 + 0\sqrt[3]{3} com 0,0\in\mathbb{Q}.
  • 1\in S porque 1 = 1 + 0\sqrt[3]{3} com 1,0\in\mathbb{Q}.
  • Fechamento por adição: se x=a+br e y=c+dr com a,b,c,d\in\mathbb{Q} e r=\sqrt[3]{3}, então
x+y = (a+c) + (b+d)r,
e como a+c\in\mathbb{Q} e b+d\in\mathbb{Q}, temos x+y\in S.
  • Inverso aditivo: para x=a+br temos
-x = (-a) + (-b)r\in S
porque -a,-b\in\mathbb{Q}.
Portanto as propriedades aditivas e a presença de 0,1 estão garantidas.

Passo 4

Agora a multiplicação: calcule o produto genérico de dois elementos de S. Para x=a+br e y=c+dr com a,b,c,d\in\mathbb{Q} e r=\sqrt[3]{3},
xy = (a+br)(c+dr) = ac + (ad+bc)r + bd\,r^2.
Note o termo bd\,r^2. Para que xy tenha a forma A+Br (com A,B\in\mathbb{Q}), é necessário que r^2 possa ser escrito como combinação linear r^2 = \alpha + \beta r com \alpha,\beta\in\mathbb{Q}. Se isso não for possível, a multiplicação não fecha em S.

Passo 5

Vou mostrar explicitamente que r^2\notin S. Uma maneira curta é dar um contraexemplo concreto: pegue x=r (ou seja a=0,b=1). Então
x\cdot x = r\cdot r = r^2.
Se S fosse fechado sob multiplicação, teríamos r^2\in S. Suponha, por absurdo, que exista a,b\in\mathbb{Q} tais que
r^2 = a + b r.
Então r seria raiz do polinômio de grau 2
x^2 - b x - a = 0
com coeficientes racionais. Isso implicaria que o grau algébrico de r sobre \mathbb{Q} seria \le 2. Mas sabemos que o grau de \sqrt[3]{3} sobre \mathbb{Q} é 3; em particular, \sqrt[3]{3} não pode satisfazer nenhum polinômio não nulo de grau 1 ou 2 com coeficientes racionais.

Passo 6

Justificativa de por que o grau de r=\sqrt[3]{3} sobre \mathbb{Q} é 3 (ou seja, por que o polinômio mínimo tem grau 3). Considere o polinômio
f(x)=x^3-3\in\mathbb{Z}[x].
Aplicando o critério de Eisenstein com o primo p=3: 3 divide todos os coeficientes de f exceto o coeficiente líder (os coeficientes de x^2 e x são 0, divisíveis por 3, e o termo constante é -3, divisível por 3), e 3^2=9 não divide o termo constante -3. Portanto f(x) é irreducível sobre \mathbb{Q}. Como f(r)=r^3-3=0, o polinômio mínimo de r sobre \mathbb{Q} tem grau 3. Logo r não pode ser raiz de nenhum polinômio de grau menor que 3 com coeficientes racionais. Isso contradiz a suposição de que r^2=a+br com a,b\in\mathbb{Q}, porque essa suposição colocaria r como raiz de um polinômio de grau 2.

Passo 7

Conclusão a partir do contraditório: não existem a,b\in\mathbb{Q} tais que r^2=a+br. Portanto r^2\notin S. Como mostrado no Passo 4, já que o produto de dois elementos de S pode produzir o termo r^2 (por exemplo r\cdot r), S não é fechado sob multiplicação. Logo S falha em uma das propriedades necessárias para ser subcorpo.

Passo 8

Complemento que reforça a falha: a inversa multiplicativa de r também não pertence a S. De fato, usando r^3=3, temos
r^{-1} = \frac{1}{r} = \frac{r^2}{r^3} = \frac{r^2}{3}.
Se r^2\notin S, então \dfrac{r^2}{3}\notin S (pois dividir por 3\in\mathbb{Q} não traz o elemento para dentro de S se r^2 já não estava). Assim há elementos não nulos de S (por exemplo r) que não têm inverso em S, outra forma de ver que S não é subcorpo.

Resposta

Não; S não é subcorpo de \mathbb{R}.

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