Em um anel A, um elemento x \in A é denominado nilpotente quando existir n \in \mathbb{N} tal que x^{n}=0. Mostre que o único elemento nilpotente de um anel de integridade é o zero.
Suponhamos x um elemento nilpotente de um anel A.
  • Se x^{n}=0, onde x \in A e n \in \mathbb{N}, então não podemos ter n=0 porque, se assim fosse, a potência x^{n} não seria igual a 0 .
  • Se n=1, então x^{n}=0 \Rightarrow x=0.
  • Se n>1, então x^{n}=0 \Rightarrow \underbrace{x \cdot x \cdot x \cdots x}_{n \text { fatores }}=0. Como A é um anel de integridade, temos x=0.
Observação. Sendo A um anel de integridade, se x_{1}, x_{2} \in A são tais que x_{1} \cdot x_{2}=0, então x_{1}=0 ou x_{2}=0. Isso pode ser generalizado (por Indução) para uma quantidade de k fatores, com k>1 : se x_{i} \in A, com i \in\{1,2, \cdots, k\} são tais que x_{1} \cdot x_{2} \cdots x_{k}=0, então existe j \in\{1,2, \cdots, k\} tal que x_{j}=0.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pedido: provar que, em um anel de integridade A, o único elemento nilpotente é o zero; isto é, mostrar que se x\in A e existe n\in\mathbb{N} com x^{n}=0, então x=0.
  • Dados relevantes do enunciado:
    • A é um anel de integridade (ou seja, é um anel com unidade 1\neq0 e sem divisores de zero).
    • x\in A é nilpotente, isto é, existe n\in\mathbb{N} tal que x^{n}=0.
  • Observações que o enunciado já nota e que vamos usar explicitamente:
    • Não faz sentido tomar n=0 porque, em anéis com unidade, \;x^{0}=1\; para qualquer x, e 1\neq0.
    • Para n=1 a conclusão é imediata: \;x^{1}=0\Rightarrow x=0.
  • Meta: a partir dessas informações, concluir que x=0 para todo x nilpotente em A.

Passo 2

Conceitos e propriedades que vamos usar (explicação didática).
  • Definição de nilpotente: Um elemento x\in A é nilpotente se existe \;n\in\mathbb{N}\; tal que \;x^{n}=0. Aqui \;x^{n}\; significa x multiplicado por si mesmo n vezes.
  • Propriedade de um anel de integridade: não há divisores de zero. Isto significa que, para quaisquer a,b\in A, a\cdot b = 0 \quad\Rightarrow\quad a=0 \text{ ou } b=0.Vou explicar com um exemplo simples: no anel dos inteiros \mathbb{Z} (que é um anel de integridade), se um produto ab=0 então necessariamente um dos fatores é zero, porque \mathbb{Z} não tem divisores de zero.
  • Ideia da prova que vamos usar: sejam todos os n>0 tais que x^{n}=0. Tomamos o menor desses n (mínimo natural) e usamos a propriedade de que um produto é zero somente se algum fator for zero, para deduzir que x deve ser zero. Essa é uma técnica clássica chamada prova pelo menor expoente (ou argumento de minimalidade).

Passo 3

Escolher o expoente mínimo e tratar os casos.
  • Como x é nilpotente existe pelo menos um n\in\mathbb{N} com n>0 tal que \;x^{n}=0. Entre todos esses expoentes positivos existe um mínimo; chame-o de m. Assim \;m\ge 1 e x^{m}=0,e por minimalidade de m temos \;x^{k}\neq0 para todo k com 1\le k<m.
  • Caso m=1: então x^{1}=0 e portanto x=0. Pronto.
  • Caso m>1: escrevemos x^{m} = x\cdot x^{m-1} = 0.Agora aplicamos a propriedade do anel de integridade (sem divisores de zero): do produto x\cdot x^{m-1}=0 segue que x=0 ou x^{m-1}=0.
  • Se viesse a acontecer x^{m-1}=0, isso contradiz a escolha de m como o menor expoente positivo com essa propriedade, porque m-1 é um expoente menor que m. Logo essa alternativa é impossível pela minimalidade.
  • Portanto, a única possibilidade que resta é x=0.

Passo 4

Concluir e dar um exemplo contrastante para fixar a ideia.
  • Conclusão lógica: em todos os casos (se m=1 ou m>1) acabamos forçados a ter x=0. Assim, o único elemento nilpotente de um anel de integridade A é o zero.
  • Exemplo para fixar: no anel \mathbb{Z} (um anel de integridade) o único nilpotente é 0. Em contraste, no anel \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} (que não é domínio de integridade porque tem divisores de zero) o elemento \overline{2} é nilpotente, pois \overline{2}^{3}=\overline{8}=\overline{0}. Esse exemplo mostra por que a hipótese “anel de integridade” é essencial: sem ela podem existir nilpotentes diferentes de zero.

Resposta

x=0

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