Dê exemplo de um anel
e um subanel
tais que:
, mas
.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo concreto de um anel
que possui unidade multiplicativa
e um subanel
que não possui unidade multiplicativa. Ou seja:
- Mostrar
com existente. - Escolher
que seja subanel (fecha as operações exigidas) e provar que não existe tal que para todo .
As informações relevantes: precisamos apenas fornecer um anel com unidade e um subanel desse anel que não tenha unidade.
Passo 2
Vou lembrar (de forma bem direta) as definições que uso aqui, passo a passo, para a gente não se perder:
- Um conjunto
é um anel com unidade se: -
é um grupo abeliano (tem elemento neutro , inversos aditivos, associatividade e comutatividade). - Há uma multiplicação associativa em
distributiva sobre a soma. - Existe um elemento
tal que , .
-
- Um subconjunto
é subanel se: -
. -
é fechado sob soma: , . -
é fechado sob inverso aditivo: , . -
é fechado sob multiplicação: , .
Observação: nesta definição de subanel não exigimos que; por isso é possível um subanel não ter unidade.
-
Passo 3
Escolha simples e clássica: proponho
o anel dos inteiros com as operações usuais. Vou primeiro mostrar que
tem unidade multiplicativa.
Passo 4
Em
o elemento
(o inteiro
) satisfaz, para todo
,
Portanto
é um anel com unidade; escrevemos
.
Passo 5
Agora defino o subanel candidato:
o conjunto de inteiros pares. Vou provar que
é subanel de
verificando as propriedades da definição.
Passo 6
Verificação de que
é subanel:
-
porque . - Fechamento por soma: tomemos
e em (com ). Então e como , resulta . - Fechamento por inverso aditivo: para
, temos e , logo . - Fechamento por multiplicação: para
e em , e , portanto .
Como todas as condições são satisfeitas,
é de fato um subanel de
.
Passo 7
Provar que
não tem unidade multiplicativa. Suponha, por contradição, que exista
que funcione como identidade multiplicativa em
; isto é,
Como
, existe
tal que
. Tome o elemento
. Então, pela propriedade de identidade,
Mas
. Logo
Dividindo ambos os lados por
obtemos
, isto é
, o que não é um inteiro. Isso é uma contradição, porque assumimos
. Portanto não existe tal
. Concluímos que
não possui elemento identidade multiplicativa.
Passo 8
Resumo da conclusão (já provado passo a passo):
-
é anel com unidade . -
é subanel de . -
não possui unidade multiplicativa.