Dê exemplo de um anel A e um subanel B tais que:
\exists 1_{A}, mas \nexists 1_{B}.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo concreto de um anel A que possui unidade multiplicativa 1_A e um subanel B\subseteq A que não possui unidade multiplicativa. Ou seja:
  • Mostrar A com 1_A existente.
  • Escolher B\subseteq A que seja subanel (fecha as operações exigidas) e provar que não existe 1_B\in B tal que 1_B\cdot b=b para todo b\in B.
As informações relevantes: precisamos apenas fornecer um anel com unidade e um subanel desse anel que não tenha unidade.

Passo 2

Vou lembrar (de forma bem direta) as definições que uso aqui, passo a passo, para a gente não se perder:
  • Um conjunto A é um anel com unidade se:
    1. (A,+) é um grupo abeliano (tem elemento neutro 0, inversos aditivos, associatividade e comutatividade).
    2. Há uma multiplicação associativa em A distributiva sobre a soma.
    3. Existe um elemento 1_A\in A tal que \forall a\in A, 1_A\cdot a = a\cdot 1_A = a.
  • Um subconjunto B\subseteq A é subanel se:
    1. 0\in B.
    2. B é fechado sob soma: \forall x,y\in B, x+y\in B.
    3. B é fechado sob inverso aditivo: \forall x\in B, -x\in B.
    4. B é fechado sob multiplicação: \forall x,y\in B, x\cdot y\in B.
      Observação: nesta definição de subanel não exigimos que 1_A\in B; por isso é possível um subanel não ter unidade.

Passo 3

Escolha simples e clássica: proponho
A=\mathbb{Z},
o anel dos inteiros com as operações usuais. Vou primeiro mostrar que \mathbb{Z} tem unidade multiplicativa.

Passo 4

Em \mathbb{Z} o elemento 1 (o inteiro 1) satisfaz, para todo n\in\mathbb{Z},
1\cdot n = n \quad\text{e}\quad n\cdot 1 = n.
Portanto \mathbb{Z} é um anel com unidade; escrevemos 1_{\mathbb{Z}}=1.

Passo 5

Agora defino o subanel candidato:
B = 2\mathbb{Z} = \{\,2k \mid k\in\mathbb{Z}\,\},
o conjunto de inteiros pares. Vou provar que B é subanel de \mathbb{Z} verificando as propriedades da definição.

Passo 6

Verificação de que B é subanel:
  • 0\in B porque 0=2\cdot 0.
  • Fechamento por soma: tomemos x=2k e y=2\ell em B (com k,\ell\in\mathbb{Z}). Então x+y = 2k + 2\ell = 2(k+\ell),e como k+\ell\in\mathbb{Z}, resulta x+y\in B.
  • Fechamento por inverso aditivo: para x=2k\in B, temos -x = -2k = 2(-k),e -k\in\mathbb{Z}, logo -x\in B.
  • Fechamento por multiplicação: para x=2k e y=2\ell em B, x\cdot y = (2k)(2\ell)=4k\ell = 2(2k\ell),e 2k\ell\in\mathbb{Z}, portanto x\cdot y\in B.
Como todas as condições são satisfeitas, B=2\mathbb{Z} é de fato um subanel de \mathbb{Z}.

Passo 7

Provar que B não tem unidade multiplicativa. Suponha, por contradição, que exista e\in B que funcione como identidade multiplicativa em B; isto é,
\forall b\in B,\qquad e\cdot b = b.
Como e\in B, existe k\in\mathbb{Z} tal que e=2k. Tome o elemento b=2\in B. Então, pela propriedade de identidade,
e\cdot 2 = 2.
Mas e\cdot 2 = (2k)\cdot 2 = 4k. Logo
4k = 2.
Dividindo ambos os lados por 2 obtemos 2k=1, isto é k=\tfrac{1}{2}, o que não é um inteiro. Isso é uma contradição, porque assumimos k\in\mathbb{Z}. Portanto não existe tal e\in B. Concluímos que B não possui elemento identidade multiplicativa.

Passo 8

Resumo da conclusão (já provado passo a passo):
  • A=\mathbb{Z} é anel com unidade 1.
  • B=2\mathbb{Z} é subanel de \mathbb{Z}.
  • B não possui unidade multiplicativa.

Resposta

A=\mathbb{Z} e B=2\mathbb{Z}.

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