Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois.
3 x-2 y+z=1 ; 4 x+5 y-2 z=4

Passo 1

O enunciado nos dá dois planos
3x - 2y + z = 1 e 4x + 5y - 2z = 4
e pede que a gente verifique se eles são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. O ponto chave aqui é lembrar que, para um plano dado por ax + by + cz = d, o vetor normal é (a,b,c). Com esse vetor em mãos, podemos usar produto escalar para decidir a orientação relativa dos planos.

Passo 2

Extraindo as normais de cada plano:
Para 3x - 2y + z = 1, temos
n1 = (3,,-2,;1)
Para 4x + 5y - 2z = 4, temos
n2 = (4,;5,,-2)

Passo 3

Testando se são paralelos:
Dois planos são paralelos se e somente se suas normais forem múltiplos escalares, ou seja, se existir lambda tal que n1 = lambda, n2. Aqui bastaria comparar razões:
34;stackrel?=;-25
Como tfrac34neqtfrac-25, não há lambda que faça n1 paralelo a n2. Então os planos não são paralelos.

Passo 4

Testando se são perpendiculares:
Dois planos são perpendiculares se e somente se suas normais tiverem produto escalar zero:
n1 cdot n2 ;=;3cdot4 + (-2)cdot5 + 1cdot(-2) =12 -10 -2 = 0
Como o produto escalar deu zero, concluímos que os planos são perpendiculares.

Resposta

Os planos são perpendiculares.

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