Verifique se ( S,+, ) é um subcorpo de ( R,+,+é em cada um dos seguintes casos:
a) S=a+b raiz3|a, b in Z
(OBS… S é um subcorpo de K quando ambos são corpos e S subset K )

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
S = ,a + braiz3 mid a,b in Z
é um subcorpo de (R,+,cdot). Para isso, lembramos que S será subcorpo se e somente se satisfizer:
  1. 0,1in S.
  2. Fechamento em soma e inverso aditivo.
  3. Fechamento em produto.
  4. Todo elemento não nulo de S tiver inverso multiplicativo em S.

Passo 2

Verificamos 0 e 1 em S. Tomando a=b=0 obtemos
0 = 0 + 0raiz3in S,
e tomando a=1,b=0 obtemos
1 = 1 + 0raiz3in S
Logo, 0,1in S.

Passo 3

Fechamento em soma e inverso aditivo. Se
x = a1 + b1raiz3, y = a2 + b2raiz3
com ai,biinZ, então
x - y = (a1 - a2) + (b1 - b2)raiz3
Como Z é fechado em subtração, temos x-yin S. Portanto, S é fechado em soma e possui inverso aditivo.

Passo 4

Fechamento em produto. Com x e y como acima,
xcdot y = (a1 + b1raiz3)(a2 + b2raiz3) = a1a2 + 3,b1b2 ;+;(a1b2 + b1a2)raiz3
Como a1a2 + 3b1b2 e a1b2+b1a2 são inteiros, temos xcdot yin S. Logo, S é fechado em produto.

Passo 5

Inverso multiplicativo de x = a + braiz3neq 0. No corpo R vale
1a + braiz3 = a - braiz3a^2 - 3b^2 = aa^2 - 3b^2 ;+; -ba^2 - 3b^2,raiz3
Para que tfrac1xin S, ambos os quocientes tfracaa^2-3b^2 e tfrac-ba^2-3b^2 teriam de ser inteiros. Mas, em geral, a^2-3b^2 não vale pm1. Por exemplo, para a=b=1 temos
a^2 - 3b^2 = 1 - 3 = -2 Longrightarrow 11 + raiz3 = 1 - raiz3-2 = raiz3-12 = -tfrac12 + tfrac12raiz3,
cujo coeficiente -tfrac12 não é inteiro. Assim, tfrac1xnotin S em geral.

Resposta

S não é subcorpo de (R,+,cdot), pois não é fechado sob inverso multiplicativo.

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