8^circ ) Se lim xn=L1, lim yn=L2 e |xn-yn| >= epsilon para todo n in N, prove que |L1-L2| >= epsilon.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas sequências xn e yn tais que
limntoinftyxn = L1, limntoinftyyn = L2,
e ainda que para todo ninN vale
l|xn - ynr|>= epsilon,
onde epsilon>0 é fixo.
O que precisamos usar é a definição de limite de sequência e a desigualdade triangular para obter uma contradição caso l|L1-L2r|<epsilon.

Passo 2

Suponha, por contradição, que
l|L1 - L2r| < epsilon
Defina
de<a = epsilon - l|L1 - L2r| > 0
Como xnto L1 e ynto L2, existem N1,N2inN tais que, para todo n>= maxN1,N2,
l|xn - L1r| < de<a2 e l|yn - L2r| < de<a2

Passo 3

Para n>= maxN1,N2, aplicamos a desigualdade triangular em três termos:
l|xn - ynr| = l|,xn - L1 + L1 - L2 + L2 - yn,r| <= l|xn - L1r| + l|L1 - L2r| + l|L2 - ynr|
Substituindo as estimativas acima,
l|xn - ynr| < de<a2 + l|L1 - L2r| + de<a2 = de<a + l|L1 - L2r| = epsilon

Passo 4

Chegamos a l|xn - ynr|<epsilon para n suficientemente grande, o que contradiz a hipótese de que l|xn - ynr|>=epsilon para todo n. Logo, nossa suposição inicial de que l|L1 - L2r|<epsilon está errada.

Resposta

Portanto, devemos ter
l|L1 - L2r|>= epsilon

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