O enunciado diz que temos duas sequências e tais que
e ainda que para todo vale
onde epsilon>0 é fixo.
O que precisamos usar é a definição de limite de sequência e a desigualdade triangular para obter uma contradição caso l|L1-L2r|<epsilon.
Passo 2
Suponha, por contradição, que
l|L1 - L2r| < epsilon
Defina
de<a = epsilon - l|L1 - L2r| > 0
Como xnto L1 e ynto L2, existem N1,N2inN tais que, para todo n>= maxN1,N2,
l|xn - L1r| < de<a2 e l|yn - L2r| < de<a2
Passo 3
Para n>= maxN1,N2, aplicamos a desigualdade triangular em três termos:
Chegamos a l|xn - ynr|<epsilon para n suficientemente grande, o que contradiz a hipótese de que l|xn - ynr|>=epsilon para todo n. Logo, nossa suposição inicial de que l|L1 - L2r|<epsilon está errada.