9^circ ) (Permanência de sinal). Se lim xn=L com L>0, então no máximo uma quantidade finita de termos dessa sequência pode não ser positiva, isto é, existe n0 in N tal que para n>n0 vale xn>0.

Passo 1

O enunciado afirma que temos uma sequência (xn) com
limntoinftyxn=Le L>0,
e pede para mostrar que só um número finito de termos pode ser não-positivo, ou seja, que existe n0 tal que para todo n>n0 vale xn>0. Vamos usar a definição de limite de sequência para provar isso.

Passo 2

Pela definição de limite, para qualquer epsilon>0 existe n0inN tal que, sempre que n>n0, temos
l|xn-Lr|<epsilon
Escolhemos epsilon=tfracL2, que é positivo pois L>0. Logo, existe n0 tal que, para todo n>n0,
l|xn-Lr|<L2

Passo 3

A desigualdade lvert xn-Lrvert<tfracL2 implica
-L2<xn-L<L2
e, somando L em todos os termos, obtemos
L-L2<xn<L+L2,
ou seja
xn>L2

Passo 4

Como tfracL2>0, concluímos que para todo n>n0 vale xn>tfracL2>0. Assim, somente os termos com n<= n0 podem eventualmente não ser positivos, ou seja, há no máximo uma quantidade finita de termos não-positivos.

Resposta

Tomando epsilon=L/2, achamos n0 tal que, para n>n0,
xn>L2>0,
logo apenas um número finito de termos de (xn) pode não ser positivo.

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