) (Permanência de sinal). Se , então no máximo uma quantidade finita de termos dessa sequência pode não ser positiva, isto é, existe tal que para vale .
Passo 1
O enunciado afirma que temos uma sequência com
e pede para mostrar que só um número finito de termos pode ser não-positivo, ou seja, que existe tal que para todo vale . Vamos usar a definição de limite de sequência para provar isso.
Passo 2
Pela definição de limite, para qualquer existe tal que, sempre que , temos
Escolhemos epsilon=tfracL2, que é positivo pois L>0. Logo, existe n0 tal que, para todo n>n0,
l|xn-Lr|<L2
Passo 3
A desigualdade lvert xn-Lrvert<tfracL2 implica
-L2<xn-L<L2
e, somando L em todos os termos, obtemos
L-L2<xn<L+L2,
ou seja
xn>L2
Passo 4
Como tfracL2>0, concluímos que para todo n>n0 vale xn>tfracL2>0. Assim, somente os termos com n<= n0 podem eventualmente não ser positivos, ou seja, há no máximo uma quantidade finita de termos não-positivos.
Resposta
Tomando epsilon=L/2, achamos n0 tal que, para n>n0,
xn>L2>0,
logo apenas um número finito de termos de (xn) pode não ser positivo.