Verifique se são bijetoras as transformações lineares. Nos casos possíveis, determine as transformações inversas.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} tal que T(x, y)=x+y.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} definida por
T(x,y)=x+y.
O que se pede:
  • Verificar se T é bijetora.
  • Caso seja bijetora, determinar a inversa; caso não seja, concluir por que não existe inversa (ou se existirem inversas parciais, comentar).

Passo 2

Primeiro vamos confirmar que a regra fornecida realmente define uma transformação linear (só para ficar seguro). Para isso verificamos aditividade e homogeneidade.
Sejam (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{R}^2. Então
T((x_1,y_1)+(x_2,y_2))=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)=(x_1+y_1)+(x_2+y_2)=T(x_1,y_1)+T(x_2,y_2).
Se c\in\mathbb{R}, então
T(c\,(x,y))=T(cx,cy)=cx+cy=c(x+y)=c\,T(x,y).
Portanto T é linear. (Isso é só para confirmar; o enunciado já dizia “transformações lineares”.)

Passo 3

Vou lembrar as definições de forma prática:
  • T é injetora se vetores diferentes em \mathbb{R}^2 têm imagens diferentes em \mathbb{R}. Equivalentemente, T é injetora se e somente se \ker(T)=\{(0,0)\}.
  • T é sobrejetora se toda b\in\mathbb{R} é imagem de algum vetor em \mathbb{R}^2.
  • T é bijetora se for simultaneamente injetora e sobrejetora. Só bijeção garante existência de inversa global T^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2.

Passo 4

Calculemos o núcleo (kernel) de T, ou seja o conjunto de vetores que vão para 0\in\mathbb{R}. Precisamos resolver
T(x,y)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x+y=0.
Da equação x+y=0 vem y=-x. Logo o kernel é
\ker(T)=\{(x,-x)\mid x\in\mathbb{R}\}=\{t(1,-1)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Isto é uma reta através da origem (subespaço de dimensão 1). Em particular \ker(T) contém mais do que o vetor nulo.

Passo 5

Como \ker(T)\neq\{(0,0)\}, concluímos que T não é injetora. Explicação intuitiva: dois vetores diferentes, por exemplo (1,0) e (0,1), têm imagens iguais porque T(1,0)=1 e T(0,1)=1; portanto não há injeção.

Passo 6

Agora verificamos sobrejetividade. Seja b\in\mathbb{R} um número qualquer. Tomemos o vetor (b,0)\in\mathbb{R}^2. Então
T(b,0)=b+0=b.
Como para qualquer b encontramos um vetor que tem imagem b, a imagem de T é todo \mathbb{R}, isto é \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}. Portanto T é sobrejetora.

Passo 7

Resumindo os resultados já obtidos: T é sobrejetora mas não é injetora. Sendo assim T não é bijetora (é preciso ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo para ser bijetora).

Passo 8

Como T não é bijetora, não existe uma inversa global T^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 que seja inversa à direita e à esquerda simultaneamente. Porém existe uma “inversa à direita” (uma seção) porque T é sobrejetora: um exemplo simples é a transformação S:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 definida por
S(r)=(r,0).
De fato, para todo r\in\mathbb{R} temos T(S(r))=T(r,0)=r, logo T\circ S=\operatorname{id}_{\mathbb{R}}. Essa S não é inversa duas faces porque, por exemplo, S(T(1,-1))=S(0)=(0,0)\neq(1,-1).

Passo 9

Conclusão final: T não tem inversa no sentido de bijeção entre \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}. Você pode anotar a resposta curta e decorar o exemplo da seção S(r)=(r,0) para mostrar que a transformação é sobrejetora.

Resposta

T não é bijetora: é sobrejetora ( \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}) e não injetora ( \ker(T)=\{(t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\}\neq\{(0,0)\}); portanto não possui inversa global. \
Exemplo de inversa à direita (seção): S:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2,\;S(r)=(r,0), pois T\circ S=\operatorname{id}_{\mathbb{R}}.

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