Verifique se são bijetoras as transformações lineares. Nos casos possíveis, determine as transformações inversas.
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
O que se pede:
- Verificar se
é bijetora. - Caso seja bijetora, determinar a inversa; caso não seja, concluir por que não existe inversa (ou se existirem inversas parciais, comentar).
Passo 2
Primeiro vamos confirmar que a regra fornecida realmente define uma transformação linear (só para ficar seguro). Para isso verificamos aditividade e homogeneidade.
Sejam
. Então
Se
, então
Portanto
é linear. (Isso é só para confirmar; o enunciado já dizia “transformações lineares”.)
Passo 3
Vou lembrar as definições de forma prática:
-
é injetora se vetores diferentes em têm imagens diferentes em . Equivalentemente, é injetora se e somente se . -
é sobrejetora se toda é imagem de algum vetor em . -
é bijetora se for simultaneamente injetora e sobrejetora. Só bijeção garante existência de inversa global .
Passo 4
Calculemos o núcleo (kernel) de
, ou seja o conjunto de vetores que vão para
. Precisamos resolver
Da equação
vem
. Logo o kernel é
Isto é uma reta através da origem (subespaço de dimensão
). Em particular
contém mais do que o vetor nulo.
Passo 5
Como
, concluímos que
não é injetora. Explicação intuitiva: dois vetores diferentes, por exemplo
e
, têm imagens iguais porque
e
; portanto não há injeção.
Passo 6
Agora verificamos sobrejetividade. Seja
um número qualquer. Tomemos o vetor
. Então
Como para qualquer
encontramos um vetor que tem imagem
, a imagem de
é todo
, isto é
. Portanto
é sobrejetora.
Passo 7
Resumindo os resultados já obtidos:
é sobrejetora mas não é injetora. Sendo assim
não é bijetora (é preciso ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo para ser bijetora).
Passo 8
Como
não é bijetora, não existe uma inversa global
que seja inversa à direita e à esquerda simultaneamente. Porém existe uma “inversa à direita” (uma seção) porque
é sobrejetora: um exemplo simples é a transformação
definida por
De fato, para todo
temos
, logo
. Essa
não é inversa duas faces porque, por exemplo,
.
Passo 9
Conclusão final:
não tem inversa no sentido de bijeção entre
e
. Você pode anotar a resposta curta e decorar o exemplo da seção
para mostrar que a transformação é sobrejetora.
Resposta
Exemplo de inversa à direita (seção):