Verifique se são bijetoras as transformações lineares. Nos casos possíveis, determine as transformações inversas.
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
Perguntas que o enunciado faz:
- Verificar se
é bijetora (isto é, injetora e sobrejetora). - Caso seja bijetora, determinar a transformação inversa.
Informações relevantes fornecidas:
- A regra explícita de
: para qualquer vetor obtemos . - O domínio tem dimensão
e o contradomínio tem dimensão .
Passo 2
Primeiro confirmo (rápido) que
é linear, porque ela combina as coordenadas por operações lineares (soma e multiplicação por escalar). Para ficar concreto, para
e
:
que é igual a
e
Assim,
é linear (isso já era esperado pela forma).
Passo 3
Calculo o núcleo de
(conjunto de vetores que vão para o vetor zero em
):
Queremos tal que
. Pela definição,
Queremos
Isso dá o sistema
Podemos parametrizar as soluções: escolha
então
e
. Logo
Portanto
não é apenas o vetor zero; tem dimensão
. Como lembrança importante: uma aplicação linear é injetora se, e somente se, o núcleo é
. Aqui o núcleo é não trivial, então
não é injetora.
Passo 4
Agora calcule a imagem (ou alcance) de
. Uma maneira prática é aplicar
aos vetores canônicos de
:
Observamos que os vetores
e
aparecem:
e
. Logo
Portanto
é sobrejetora (sobra cobertura de todo
).
Passo 5
Consistência com o teorema da dimensão (teorema do posto-nulidade):
. Encontramos
e
. De fato
. Tudo bate.
Passo 6
Conclusão sobre bijetividade: para ser bijetora é preciso ser simultaneamente injetora e sobrejetora. Aqui vimos que
é sobrejetora, mas não é injetora (porque o núcleo é não trivial). Portanto
não é bijetora.
Como consequência prática: não existe transformação linear
que seja inversa à esquerda e à direita (ou seja, não existe inversa no sentido de bijeção). Contudo, por ser sobrejetora, existe pelo menos uma “inversa à direita” (uma escolha de um representante em cada fibra). Por exemplo, a aplicação
satisfaz
para todo
, ou seja
. Mas
não é inversa de
no sentido biunívoco porque
(por exemplo
). Isso reflete o fato de que há infinitas pré-imagens para cada
: as soluções de
são todos
com
.
Resposta
Não é bijetora. É sobrejetora e não injetora, logo não possui inversa (à esquerda e à direita simultaneamente).