Verifique se são bijetoras as transformações lineares. Nos casos possíveis, determine as transformações inversas.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que T(x, y, z)=(z, x+y).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y,z)=(z,\;x+y).
Perguntas que o enunciado faz:
  • Verificar se T é bijetora (isto é, injetora e sobrejetora).
  • Caso seja bijetora, determinar a transformação inversa.
Informações relevantes fornecidas:
  • A regra explícita de T: para qualquer vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 obtemos (z,x+y)\in\mathbb{R}^2.
  • O domínio tem dimensão 3 e o contradomínio tem dimensão 2.

Passo 2

Primeiro confirmo (rápido) que T é linear, porque ela combina as coordenadas por operações lineares (soma e multiplicação por escalar). Para ficar concreto, para (x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\in\mathbb{R}^3 e \lambda\in\mathbb{R}:
T((x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2))=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2)=(z_1+z_2,\;x_1+x_2+y_1+y_2),
que é igual a
(z_1,x_1+y_1)+(z_2,x_2+y_2)=T(x_1,y_1,z_1)+T(x_2,y_2,z_2),
e
T(\lambda(x,y,z))=T(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=(\lambda z,\lambda(x+y))=\lambda T(x,y,z).
Assim, T é linear (isso já era esperado pela forma).

Passo 3

Calculo o núcleo de T (conjunto de vetores que vão para o vetor zero em \mathbb{R}^2):
Queremos (x,y,z) tal que T(x,y,z)=(0,0). Pela definição,
(z,\;x+y)=(0,0).
Isso dá o sistema
z=0,\qquad x+y=0.
Podemos parametrizar as soluções: escolha x=t então y=-t e z=0. Logo
\ker(T)=\{(t,-t,0)\mid t\in\mathbb{R}\}=\mathrm{span}\{(1,-1,0)\}.
Portanto \ker(T) não é apenas o vetor zero; tem dimensão 1. Como lembrança importante: uma aplicação linear é injetora se, e somente se, o núcleo é \{0\}. Aqui o núcleo é não trivial, então T não é injetora.

Passo 4

Agora calcule a imagem (ou alcance) de T. Uma maneira prática é aplicar T aos vetores canônicos de \mathbb{R}^3:
T(1,0,0)=(0,1),\qquad T(0,1,0)=(0,1),\qquad T(0,0,1)=(1,0).
Observamos que os vetores (1,0) e (0,1) aparecem: (1,0)=T(0,0,1) e (0,1)=T(1,0,0). Logo
\operatorname{Im}(T)=\mathrm{span}\{(1,0),(0,1)\}=\mathbb{R}^2.
Portanto T é sobrejetora (sobra cobertura de todo \mathbb{R}^2).

Passo 5

Consistência com o teorema da dimensão (teorema do posto-nulidade): \dim(\mathbb{R}^3)=3. Encontramos \dim(\ker T)=1 e \dim(\operatorname{Im} T)=2. De fato 1+2=3. Tudo bate.

Passo 6

Conclusão sobre bijetividade: para ser bijetora é preciso ser simultaneamente injetora e sobrejetora. Aqui vimos que T é sobrejetora, mas não é injetora (porque o núcleo é não trivial). Portanto T não é bijetora.
Como consequência prática: não existe transformação linear T^{-1}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 que seja inversa à esquerda e à direita (ou seja, não existe inversa no sentido de bijeção). Contudo, por ser sobrejetora, existe pelo menos uma “inversa à direita” (uma escolha de um representante em cada fibra). Por exemplo, a aplicação
S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3,\qquad S(u,v)=(v,0,u)
satisfaz T(S(u,v))=(u,v) para todo (u,v), ou seja T\circ S=\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^2}. Mas S não é inversa de T no sentido biunívoco porque S\circ T\neq\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^3} (por exemplo S(T(1,1,0))=S(0,2)=(2,0,0)\neq(1,1,0)). Isso reflete o fato de que há infinitas pré-imagens para cada (u,v): as soluções de T(x,y,z)=(u,v) são todos (t,v-t,u) com t\in\mathbb{R}.

Resposta

Não é bijetora. É sobrejetora e não injetora, logo não possui inversa (à esquerda e à direita simultaneamente).

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