Verifique se são bijetoras as transformações lineares. Nos casos possíveis, determine as transformações inversas.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que T(x, y, z)=(x+y, 2 x-y+z).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) verificar se a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 dada por T(x,y,z)=(x+y,\;2x-y+z) é bijetora; (2) caso seja bijetora, determinar a transformação inversa.
Informações dadas: a regra de T é explicitamente T(x,y,z)=(x+y,\;2x-y+z). Não há mais condicionantes; vamos usar só essa definição.

Passo 2

Representar T por uma matriz na base canônica facilita os cálculos. Calculamos a imagem dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^3:
T(1,0,0)=(1,2),\qquad T(0,1,0)=(1,-1),\qquad T(0,0,1)=(0,1).
Colocando essas imagens como colunas, a matriz de T (na base canônica) é
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\[4pt] 2 & -1 & 1\end{pmatrix}.
Essa é uma matriz 2\times 3. Trabalhar com A nos permite aplicar conceitos de posto (rank), núcleo e nulidade.]

Passo 3

Lembrete teórico curto e útil (explicando passo a passo):
  • Uma transformação linear é injetora se e só se seu núcleo é \{0\}. Em termos de matriz, isso equivale a a única solução de A\mathbf{v}=0 ser \mathbf{v}=0.
  • Uma transformação linear é sobrejetora se e só se o posto (rank) da matriz é igual à dimensão do espaço alvo. Aqui o espaço alvo é \mathbb{R}^2, dimensão 2.
  • O teorema do posto-nulidade (rank-nullity) diz que para uma matriz 2\times3 vale \dim(\ker A)+\operatorname{rank}(A)=3.
Vamos calcular \operatorname{rank}(A) para decidir sobre sobrejetividade e, em seguida, encontrar o núcleo para decidir sobre injetividade.

Passo 4

Calcular o posto (rank) de A. Basta ver se as duas linhas (ou as colunas) são linearmente independentes. As linhas são (1,1,0) e (2,-1,1). Para testar independência, suponha
\alpha(1,1,0)+\beta(2,-1,1)=(0,0,0).
Isso gera o sistema (coordena por coordena):
\alpha+2\beta=0,\qquad \alpha-\beta=0,\qquad 0+\beta=0.
Da terceira equação obtemos \beta=0. Substituindo em \alpha-\beta=0 \alpha=0. Logo só a solução trivial existe, então as duas linhas são linearmente independentes. Portanto
\operatorname{rank}(A)=2.
Como \operatorname{rank}(A)=2 e o espaço alvo \mathbb{R}^2 tem dimensão 2, segue que \mathrm{Im}\,T=\mathbb{R}^2. Conclusão: T é sobrejetora.

Passo 5

Agora verificamos injetividade encontrando o núcleo, isto é, resolvendo T(x,y,z)=(0,0). Escrevemos o sistema
x+y=0,
2x-y+z=0.
Da primeira equação tem-se y=-x. Substituindo na segunda:
2x-(-x)+z=0 \quad\Rightarrow\quad 3x+z=0 \quad\Rightarrow\quad z=-3x.
Portanto as soluções são os vetores da forma
(x,y,z)=\big(x,\,-x,\,-3x\big)=x\,(1,-1,-3),\qquad x\in\mathbb{R}.
Logo \ker T=\operatorname{span}\{(1,-1,-3)\}, que é um subespaço de dimensão 1 e não é apenas \{0\}. Assim T não é injetora.

Passo 6

Aplicando o teorema do posto-nulidade como checagem: \dim(\ker T)=1 e \operatorname{rank}(A)=2, e 1+2=3 como esperado. Isso confirma nossos cálculos.

Passo 7

Conclusão sobre bijetividade e inversa: uma transformação é bijetora quando é simultaneamente injetora e sobrejetora. Aqui T é sobrejetora mas não injetora, portanto não é bijetora. Como não é bijetora, não existe uma inversa bilateral T^{-1}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 que satisfaça T^{-1}\circ T=\mathrm{Id}_{\mathbb{R}^3} e T\circ T^{-1}=\mathrm{Id}_{\mathbb{R}^2}.

Passo 8

Comentário útil para a prova (não pedido explicitamente, mas prático): embora não exista inversa global, por T ser sobrejetora existem muitas aplicações lineares S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 tais que T\circ S=\mathrm{Id}_{\mathbb{R}^2} (chamadas inversas à direita). Uma construção simples: escolher preimagens para os vetores da base canônica de \mathbb{R}^2. Por exemplo, escolhemos
v_1=(0,1,1)\quad\text{com }T(v_1)=(1,0),
v_2=(0,0,1)\quad\text{com }T(v_2)=(0,1).
Definindo S(a,b)=a v_1+b v_2=(0,a,a+b) obtemos uma aplicação linear S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 tal que T\big(S(a,b)\big)=(a,b) para todo (a,b). Isso mostra na prática que surjetividade permite um “inverso à direita”, porém não dá inversa bilateral porque T não é injetora.

Resposta

T não é bijetora (é sobrejetora e não injetora).\nNão existe transformação inversa T^{-1}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 porque \ker T=\operatorname{span}\{(1,-1,-3)\}\neq\{0\} e \mathrm{Im}\,T=\mathbb{R}^2.

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