Verifique se são bijetoras as transformações lineares. Nos casos possíveis, determine as transformações inversas.
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) verificar se a transformação linear
dada por
é bijetora; (2) caso seja bijetora, determinar a transformação inversa.
Informações dadas: a regra de é explicitamente
. Não há mais condicionantes; vamos usar só essa definição.
Informações dadas: a regra de
Passo 2
Representar
por uma matriz na base canônica facilita os cálculos. Calculamos a imagem dos vetores da base canônica de
:
Colocando essas imagens como colunas, a matriz de
(na base canônica) é
Essa é uma matriz
. Trabalhar com
nos permite aplicar conceitos de posto (rank), núcleo e nulidade.]
Passo 3
Lembrete teórico curto e útil (explicando passo a passo):
- Uma transformação linear é injetora se e só se seu núcleo é
. Em termos de matriz, isso equivale a a única solução de ser . - Uma transformação linear é sobrejetora se e só se o posto (rank) da matriz é igual à dimensão do espaço alvo. Aqui o espaço alvo é
, dimensão . - O teorema do posto-nulidade (rank-nullity) diz que para uma matriz
vale .
Vamos calcular
para decidir sobre sobrejetividade e, em seguida, encontrar o núcleo para decidir sobre injetividade.
Passo 4
Calcular o posto (rank) de
. Basta ver se as duas linhas (ou as colunas) são linearmente independentes. As linhas são
e
. Para testar independência, suponha
Isso gera o sistema (coordena por coordena):
Da terceira equação obtemos
. Substituindo em
dá
. Logo só a solução trivial existe, então as duas linhas são linearmente independentes. Portanto
Como
e o espaço alvo
tem dimensão
, segue que
. Conclusão:
é sobrejetora.
Passo 5
Agora verificamos injetividade encontrando o núcleo, isto é, resolvendo
. Escrevemos o sistema
Da primeira equação tem-se
. Substituindo na segunda:
Portanto as soluções são os vetores da forma
Logo
, que é um subespaço de dimensão
e não é apenas
. Assim
não é injetora.
Passo 6
Aplicando o teorema do posto-nulidade como checagem:
e
, e
como esperado. Isso confirma nossos cálculos.
Passo 7
Conclusão sobre bijetividade e inversa: uma transformação é bijetora quando é simultaneamente injetora e sobrejetora. Aqui
é sobrejetora mas não injetora, portanto não é bijetora. Como não é bijetora, não existe uma inversa bilateral
que satisfaça
e
.
Passo 8
Comentário útil para a prova (não pedido explicitamente, mas prático): embora não exista inversa global, por
ser sobrejetora existem muitas aplicações lineares
tais que
(chamadas inversas à direita). Uma construção simples: escolher preimagens para os vetores da base canônica de
. Por exemplo, escolhemos
Definindo
obtemos uma aplicação linear
tal que
para todo
. Isso mostra na prática que surjetividade permite um “inverso à direita”, porém não dá inversa bilateral porque
não é injetora.