Verifique se são bijetoras as transformações lineares. Nos casos possíveis, determine as transformações inversas.
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
O que se pede:
- Verificar se
é bijetora. - Caso seja bijetora, determinar
.
Informações relevantes que temos: a definição explícita de
; o espaço domínio é
e o contradomínio é
.
Passo 2
Vamos recordar o que significa ser bijetora, com foco em mapas lineares (aqui explico devagarinho):
- Uma aplicação é bijetora quando é simultaneamente injetora e sobrejetora.
- Injetora (um a um): dois vetores distintos do domínio não podem ter a mesma imagem; para mapas lineares isso é equivalente a ter núcleo trivial, isto é,
. - Aula rápida: o núcleo
é o conjunto de vetores do domínio tais que . Se houver algum vetor não-nulo no núcleo, então a aplicação envia esse vetor e o vetor nulo para a mesma imagem , logo não é injetora.
- Aula rápida: o núcleo
- Sobrejetora (sobre): a imagem (ou alcance) de
deve ser todo o contradomínio, isto é, . - Teorema útil (Rank–Nullity, versão simples): para uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita,
Aqui a dimensão do domínio é . Esse teorema ajuda a ver se é possível ser injetora/sobrejetora.
Passo 3
Calcular o núcleo
. Por definição,
se e só se
Vamos resolver essa equação linear de forma bem explícita:
- Isolando
, obtemos . - Podemos parametrizar os vetores do núcleo com parâmetros
e escolhendo e . Então - Escrevendo em combinação linear:
Logo
é o subespaço gerado por
e
. Conclusões imediatas:
-
contém vetores diferentes de (por exemplo ), então é não-trivial. -
.
Ponto importante: como o núcleo tem dimensão
,
não é injetora.
Passo 4
Calcular a imagem
e verificar sobrejetividade. Note que
é uma forma linear (um funcional): avalia vetores em um escalar. Para checar se
basta ver se qualquer real
aparece como imagem de algum vetor de
.
Construção simples de pré-imagem: para um dado
escolha o vetor
. Então
Portanto todo
é atingido por
, logo
. Assim
é sobrejetora.
Também podemos verificar com rank–nullity: como
e
, temos
. O único subespaço de
com dimensão
é
inteiro, reforçando que
é sobrejetora.
Passo 5
Concluir sobre bijetividade e inversa:
- Encontramos que
é sobrejetora, mas não é injetora. Como bijetividade exige ambas, não é bijetora. - Consequência prática: não existe transformação inversa
que seja função inversa de (porque uma inversa exigiria injetividade de ).
Observação amistosa: dá para definir muitas “seções” (direitas inversas parciais)
tais que
(por exemplo
), mas essas não são inversas verdadeiras porque não satisfazem
.