Verifique se são bijetoras as transformações lineares. Nos casos possíveis, determine as transformações inversas.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} tal que T(x, y, z)=-x+y+z.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} definida por
T(x,y,z) = -x + y + z.
O que se pede:
  • Verificar se T é bijetora.
  • Caso seja bijetora, determinar T^{-1}.
Informações relevantes que temos: a definição explícita de T; o espaço domínio é \mathbb{R}^{3} e o contradomínio é \mathbb{R}.

Passo 2

Vamos recordar o que significa ser bijetora, com foco em mapas lineares (aqui explico devagarinho):
  • Uma aplicação é bijetora quando é simultaneamente injetora e sobrejetora.
  • Injetora (um a um): dois vetores distintos do domínio não podem ter a mesma imagem; para mapas lineares isso é equivalente a ter núcleo trivial, isto é, \ker(T)=\{(0,0,0)\}.
    • Aula rápida: o núcleo \ker(T) é o conjunto de vetores v do domínio tais que T(v)=0. Se houver algum vetor não-nulo no núcleo, então a aplicação envia esse vetor e o vetor nulo para a mesma imagem 0, logo não é injetora.
  • Sobrejetora (sobre): a imagem (ou alcance) de T deve ser todo o contradomínio, isto é, \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}.
  • Teorema útil (Rank–Nullity, versão simples): para uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita, \dim(\text{domínio}) = \dim(\ker(T)) + \dim(\operatorname{Im}(T)).íAqui a dimensão do domínio é \dim(\mathbb{R}^3)=3. Esse teorema ajuda a ver se é possível ser injetora/sobrejetora.

Passo 3

Calcular o núcleo \ker(T). Por definição, (x,y,z)\in\ker(T) se e só se
-x + y + z = 0.
Vamos resolver essa equação linear de forma bem explícita:
  • Isolando x, obtemos x = y + z.
  • Podemos parametrizar os vetores do núcleo com parâmetros s e t escolhendo y=s e z=t. Então (x,y,z) = (s+t,\; s,\; t).
  • Escrevendo em combinação linear: (s+t,s,t) = s(1,1,0) + t(1,0,1).
Logo \ker(T) é o subespaço gerado por (1,1,0) e (1,0,1). Conclusões imediatas:
  • \ker(T) contém vetores diferentes de (0,0,0) (por exemplo (1,1,0)), então é não-trivial.
  • \dim(\ker(T)) = 2.
Ponto importante: como o núcleo tem dimensão 2>0, T não é injetora.

Passo 4

Calcular a imagem \operatorname{Im}(T) e verificar sobrejetividade. Note que T é uma forma linear (um funcional): avalia vetores em um escalar. Para checar se \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R} basta ver se qualquer real r aparece como imagem de algum vetor de \mathbb{R}^3.
Construção simples de pré-imagem: para um dado r\in\mathbb{R} escolha o vetor (0,0,r)\in\mathbb{R}^3. Então
T(0,0,r) = -0 + 0 + r = r.
Portanto todo r\in\mathbb{R} é atingido por T, logo \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}. Assim T é sobrejetora.
Também podemos verificar com rank–nullity: como \dim(\ker(T))=2 e \dim(\mathbb{R}^3)=3, temos \dim(\operatorname{Im}(T))=3-2=1. O único subespaço de \mathbb{R} com dimensão 1 é \mathbb{R} inteiro, reforçando que T é sobrejetora.

Passo 5

Concluir sobre bijetividade e inversa:
  • Encontramos que T é sobrejetora, mas não é injetora. Como bijetividade exige ambas, T não é bijetora.
  • Consequência prática: não existe transformação inversa T^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 que seja função inversa de T (porque uma inversa exigiria injetividade de T).
Observação amistosa: dá para definir muitas “seções” (direitas inversas parciais) S:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 tais que T\circ S = \mathrm{id}_{\mathbb{R}} (por exemplo S(r)=(0,0,r)), mas essas não são inversas verdadeiras porque não satisfazem S\circ T=\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3}.

Resposta

T não é bijetora; T é sobrejetora mas não injetora, portanto não possui inversa T^{-1}.

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