Calcule as seguintes integrais
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral vetorial juntos! O enunciado pede pra calcular a integral de uma função vetorial que tem componentes nas direções
,
e
. Para isso, vamos integrar cada componente separadamente usando técnicas de integração que envolvem funções trigonométricas. Vamos precisar usar substituição trigonométrica e lembrar algumas identidades básicas de seno e cosseno.
Passo 2
Vamos começar integrando a componente na direção
:
Aqui temos uma função que é um produto de
e
. Podemos usar substituição para facilitar. Vamos deixar
, então
.
Passo 3
Substituindo na integral:
Aqui usamos que quando
,
e quando
,
.
Passo 4
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Então, a componente
resulta em 1.
Passo 5
Vamos para a componente
:
Aqui, temos
multiplicado por
. Podemos novamente usar substituição. Deixe
, então
.
Passo 6
Substituindo na integral:
Note que inverter os limites de integração elimina o sinal negativo.
Passo 7
Integrando
novamente:
Então, a componente
também é 1.
Passo 8
Agora, a componente
:
Essa integral pode ser resolvida usando uma identidade trigonométrica:
.
Passo 9
Aplicando a identidade:
Agora, vamos integrar
.
Passo 10
Integrando:
Sabemos que
e
.
Passo 11
Calculando os valores:
Então, a componente
é
.
Resposta
A integral é igual a
.