Calcule as seguintes integrais
integral0^pi / 2(3 sen^2(t) cos (t) i+3 sen(t) cos ^2(t) j+sen(t) cos (t) k) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral vetorial juntos! O enunciado pede pra calcular a integral de uma função vetorial que tem componentes nas direções i, j e k. Para isso, vamos integrar cada componente separadamente usando técnicas de integração que envolvem funções trigonométricas. Vamos precisar usar substituição trigonométrica e lembrar algumas identidades básicas de seno e cosseno.

Passo 2

Vamos começar integrando a componente na direção i:
integral0^pi / 2 3 sin^2(t) cos(t) , dt
Aqui temos uma função que é um produto de sin^2(t) e cos(t). Podemos usar substituição para facilitar. Vamos deixar u = sin(t), então du = cos(t) dt.

Passo 3

Substituindo na integral:
3 integral0^pi / 2 sin^2(t) cos(t) , dt = 3 integral0^1 u^2 , du
Aqui usamos que quando t = 0, u = 0 e quando t = pi/2, u = 1.

Passo 4

Agora, vamos integrar u^2 em relação a u:
3 integral0^1 u^2 , du = 3 [ u^33 ]0^1 = 3 ( 13 - 0 ) = 1
Então, a componente i resulta em 1.

Passo 5

Vamos para a componente j:
integral0^pi / 2 3 sin(t) cos^2(t) , dt
Aqui, temos sin(t) multiplicado por cos^2(t). Podemos novamente usar substituição. Deixe u = cos(t), então du = -sin(t) dt.

Passo 6

Substituindo na integral:
3 integral0^pi / 2 sin(t) cos^2(t) , dt = 3 integral1^0 -u^2 , du = 3 integral0^1 u^2 , du
Note que inverter os limites de integração elimina o sinal negativo.

Passo 7

Integrando u^2 novamente:
3 integral0^1 u^2 , du = 3 [ u^33 ]0^1 = 3 ( 13 - 0 ) = 1
Então, a componente j também é 1.

Passo 8

Agora, a componente k:
integral0^pi / 2 sin(t) cos(t) , dt
Essa integral pode ser resolvida usando uma identidade trigonométrica: sin(t)cos(t) = 12 sin(2t).

Passo 9

Aplicando a identidade:
integral0^pi / 2 sin(t) cos(t) , dt = 12 integral0^pi / 2 sin(2t) , dt
Agora, vamos integrar sin(2t).

Passo 10

Integrando:
12 integral0^pi / 2 sin(2t) , dt = 12 [ -cos(2t)2 ]0^pi / 2 = 12 ( -cos(pi)2 + cos(0)2 )
Sabemos que cos(pi) = -1 e cos(0) = 1.

Passo 11

Calculando os valores:
12 ( --12 + 12 ) = 12 ( 12 + 12 ) = 12 times 1 = 12
Então, a componente k é 12.

Resposta

A integral é igual a 1, i + 1, j + 12, k.

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