Verifique se são convergentes:
sumn=1^+infty(15^n+n)

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos verificar a convergência da série numérica sumn=1^+inftyl(tfrac15^n+nr). O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar a linearidade da soma, o teste da série geométrica e o teste da divergência (condição necessária de convergência).

Passo 2

Pela propriedade de linearidade, podemos separar a série em duas:
sumn=1^+inftyl(tfrac15^n+nr)=sumn=1^+inftytfrac15^n+sumn=1^+inftyn

Passo 3

Analisando sumn=1^+inftytfrac15^n: trata-se de uma série geométrica com razão q=tfrac15. Como |q|<1, essa série converge (e sua soma vale tfrac1/51-1/5=tfrac14, mas o valor exato não é essencial para determinar convergência).

Passo 4

Analisando sumn=1^+inftyn: o termo geral é an=n. Um teste necessário para convergência é limnto+inftyan=0. Como limnto+inftyn=+inftyneq0, essa série diverge pelo teste da divergência.

Passo 5

Conclusão: como a segunda série diverge, a soma original sumn=1^+infty(1/5^n+n) também diverge (soma de uma série convergente com uma divergente é divergente).

Resposta

A série diverge.

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