Verifique se são coplanares os vetores abaixo: ū = (1, 1, 2), v = (3, 1, -1) e û = (0, 2, 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores coplanares. O enunciado nos dá três vetores: ū = (1, 1, 2), v = (3, 1, -1) e û = (0, 2, 1). O que precisamos fazer é verificar se esses três vetores estão no mesmo plano, ou seja, se são coplanares. Para isso, vamos usar o conceito de determinante que envolve esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como verificar se três vetores são coplanares. Três vetores são coplanares se o determinante da matriz formada por eles for igual a zero. Então, vamos montar essa matriz com os vetores ū, v e û como colunas:
1 & 3 & 0 1 & 1 & 2 2 & -1 & 1

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso na nossa matriz:
det = 1 cdot (1 cdot 1 - 2 cdot (-1)) - 3 cdot (1 cdot 1 - 2 cdot 2) + 0 cdot (1 cdot (-1) - 1 cdot 2)

Passo 4

Vamos resolver cada parte separadamente:
  1. Primeiro termo: $ 1 \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)) = 1 \cdot (1 + 2) = 1 \cdot 3 = 3 $
  2. Segundo termo: $ -3 \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) = -3 \cdot (1 - 4) = -3 \cdot (-3) = 9 $
  3. Terceiro termo: $ 0 \cdot (1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2) = 0 \cdot (-1 - 2) = 0 \cdot (-3) = 0 $

Passo 5

Agora, somamos todos os termos:
det = 3 + 9 + 0 = 12

Resposta

Como o determinante é 12, que é diferente de zero, os vetores ū, v e û não são coplanares.

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