Verifique se a série
é convergente ou divergente.
Passo 1
Então, a gente tem uma série infinita para verificar se ela converge ou diverge. A série é:
Vamos usar conhecimentos de séries e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do termo geral da série:
Como
domina o denominador quando
cresce, podemos aproximar:
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com a série p:
Sabemos que a série p converge se o expoente
. Aqui,
, que é bem maior que 1, então a série p converge.
Passo 4
Para ter certeza, usamos o Teste de Comparação Limite. Calculamos o limite do termo geral da nossa série dividido pelo termo da série p:
Passo 5
Simplificando o limite:
Como o limite é um número finito diferente de zero (
), as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência.
Resposta
A série
converge.