Verifique se a série sumn=1^infty n^2310 n^2024+10 é convergente ou divergente.

Passo 1

Então, a gente tem uma série infinita para verificar se ela converge ou diverge. A série é:
sumn=1^infty n^2310 n^2024 + 10
Vamos usar conhecimentos de séries e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do termo geral da série:
n^2310 n^2024 + 10
Como n^2310 n^2024 = 110 cdot 1n^2001 domina o denominador quando cresce, podemos aproximar:

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série p:
sumn=1^infty 1n^2001
Sabemos que a série p converge se o expoente . Aqui, , que é bem maior que 1, então a série p converge.

Passo 4

Para ter certeza, usamos o Teste de Comparação Limite. Calculamos o limite do termo geral da nossa série dividido pelo termo da série p:
limn to infty n^2310 n^2024 + 101n^2001 = limn to infty n^23 cdot n^200110 n^2024 + 10 = limn to infty n^202410 n^2024 + 10

Passo 5

Simplificando o limite:
limn to infty n^202410 n^2024 + 10 = 110 + 10n^2024 = 110
Como o limite é um número finito diferente de zero ( ), as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência.

Resposta

A série converge.

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