Para cada transformação linear T abaixo, determinar a lei de definição, o núcleo e uma base da imagem.
T: M2(R) R, tal que
T(ll 1 & 0 0 & 2 )=3, T(ll 0 & 1 0 & 0 )=0, T(ll 0 & 0 2 & 1 )=1 e T(rr 0 & -1 0 & 3 )=3

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear Tcolon M2(R)toR e informa os valores de T em quatro matrizes específicas. Precisamos:
  1. Determinar a lei de definição geral de T.
  2. Encontrar ker T.
  3. Encontrar uma base de Im T.
Conteúdo usado: linearidade de transformações, base canônica de M2(R), cálculo de núcleo e imagem.

Passo 2

Seja a base canônica de M2(R) dada por
E11=1&00&0,; E12=0&10&0,; E21=0&01&0,; E22=0&00&1
As matrizes do enunciado se escrevem como
1&00&2=E11+2E22,
0&10&0=E12,
0&02&1=2E21+E22,
0&-10&3=-E12+3E22.
Pela linearidade de T obtemos o sistema de equações:
T(E11)+2T(E22)=3,
T(E12)=0,
2T(E21)+T(E22)=1,
-T(E12)+3T(E22)=3.

Passo 3

Da última equação vem 3T(E22)=3, logo
T(E22)=1
Substituindo em T(E11)+2T(E22)=3
T(E11)+2cdot1=3implies T(E11)=1
T(E12)=0 e de 2T(E21)+T(E22)=1 segue
2T(E21)+1=1implies T(E21)=0

Passo 4

Como qualquer se escreve
,
pela linearidade
Portanto
que tem dimensão 3 e uma base, por exemplo,
.
Como atinge valores arbitrários em , e uma base é .

Resposta

Lei de definição: para ,
Núcleo: , uma base é
.
Imagem: , com base .

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