Para cada transformação linear abaixo, determinar a lei de definição, o núcleo e uma base da imagem. , tal que
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear Tcolon M2(R)toR e informa os valores de T em quatro matrizes específicas. Precisamos:
Determinar a lei de definição geral de T.
Encontrar ker T.
Encontrar uma base de Im T.
Conteúdo usado: linearidade de transformações, base canônica de M2(R), cálculo de núcleo e imagem.
Passo 2
Seja a base canônica de M2(R) dada por
E11=1&00&0,; E12=0&10&0,; E21=0&01&0,; E22=0&00&1
As matrizes do enunciado se escrevem como 1&00&2=E11+2E22, 0&10&0=E12, 0&02&1=2E21+E22, 0&-10&3=-E12+3E22.
Pela linearidade de T obtemos o sistema de equações: T(E11)+2T(E22)=3, T(E12)=0, 2T(E21)+T(E22)=1, -T(E12)+3T(E22)=3.
Passo 3
Da última equação vem 3T(E22)=3, logo
T(E22)=1
Substituindo em T(E11)+2T(E22)=3 dá
T(E11)+2cdot1=3implies T(E11)=1
Já T(E12)=0 e de 2T(E21)+T(E22)=1 segue
2T(E21)+1=1implies T(E21)=0
Passo 4
Como qualquer se escreve
,
pela linearidade
Portanto
que tem dimensão 3 e uma base, por exemplo, .
Como atinge valores arbitrários em , e uma base é .