Verifique se são L.D ou L.I cada sequência (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) de vetores abaixo.
\vec{u}=(2,3,4), \vec{v}=(3,1,9), \vec{w}=(2,1,3)

Passo 1

O enunciado pede: verificar se a sequência (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é linearmente dependente (L.D.) ou linearmente independente (L.I.).\n
Dados fornecidos:
\vec{u}=(2,3,4),\qquad \vec{v}=(3,1,9),\qquad \vec{w}=(2,1,3).

Passo 2

Definição (explicada de forma simples): dizer que (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é linearmente independente significa que a única solução para a combinação linear
\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0}
é \alpha=\beta=\gamma=0. Se existir alguma solução com algum coeficiente diferente de zero, os vetores são linearmente dependentes. Pense assim: LI = ninguém pode ser escrito como combinação dos outros; LD = pelo menos um pode.

Passo 3

Método escolhido e porquê (curtinho): uma forma direta para três vetores em \mathbb{R}^3 é montar a matriz cujas colunas são os vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e a combinação acima só tem solução trivial, logo os vetores são L.I. Isso é rápido de fazer à mão.

Passo 4

Montamos a matriz A com as colunas \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2\\[4pt] 3 & 1 & 1\\[4pt] 4 & 9 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calculamos o determinante de A desenvolvendo pela primeira linha (expansão por cofatores). Aplicando a fórmula:
\det(A)=2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]9 & 3\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]4 & 3\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]4 & 9\end{pmatrix}.
Agora calculamos cada menor 2\times2:
Primeiro menor:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]9 & 3\end{pmatrix}=1\cdot 3-1\cdot 9=3-9=-6.
Contribuição: 2\cdot(-6)=-12.
Segundo menor:
\det\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]4 & 3\end{pmatrix}=3\cdot 3-1\cdot 4=9-4=5.
Contribuição: -3\cdot 5=-15.
Terceiro menor:
\det\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]4 & 9\end{pmatrix}=3\cdot 9-1\cdot 4=27-4=23.
Contribuição: 2\cdot 23=46.
Somando as contribuições:
\det(A)=-12-15+46=19.]

Passo 6

Interpretação do resultado: obtivemos \det(A)=19, que é diferente de zero. Pelo argumento do Passo 3, isso significa que a única solução da combinação linear \alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0} é a trivial \alpha=\beta=\gamma=0. Portanto os vetores não são dependentes — são linearmente independentes. (Se preferir, dava para montar o sistema linear e resolver; o determinante nos dá essa conclusão mais direto.)

Resposta

(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é linearmente independente.

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