Verifique se são L.D ou L.I cada sequência (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) de vetores abaixo. \vec{u}=(2,3,4), \vec{v}=(3,1,9), \vec{w}=(2,1,3)
Passo 1
O enunciado pede: verificar se a sequência (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é linearmente dependente (L.D.) ou linearmente independente (L.I.).\n
Dados fornecidos:
Definição (explicada de forma simples): dizer que (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é linearmente independente significa que a única solução para a combinação linear
\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0}
é \alpha=\beta=\gamma=0. Se existir alguma solução com algum coeficiente diferente de zero, os vetores são linearmente dependentes. Pense assim: LI = ninguém pode ser escrito como combinação dos outros; LD = pelo menos um pode.
Passo 3
Método escolhido e porquê (curtinho): uma forma direta para três vetores em \mathbb{R}^3 é montar a matriz cujas colunas são os vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e a combinação acima só tem solução trivial, logo os vetores são L.I. Isso é rápido de fazer à mão.
Passo 4
Montamos a matriz A com as colunas \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
Interpretação do resultado: obtivemos \det(A)=19, que é diferente de zero. Pelo argumento do Passo 3, isso significa que a única solução da combinação linear \alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0} é a trivial \alpha=\beta=\gamma=0. Portanto os vetores não são dependentes — são linearmente independentes. (Se preferir, dava para montar o sistema linear e resolver; o determinante nos dá essa conclusão mais direto.)
Resposta
(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é linearmente independente.