Verifique se são L.D ou L.I cada sequência (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) de vetores abaixo.
\vec{u}=(1,0,1), \vec{v}=(1,2,1), \vec{w}=(0,0,1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é linearmente dependente (L.D.) ou linearmente independente (L.I.).\n
Dados fornecidos:
\vec{u}=(1,0,1),\qquad \vec{v}=(1,2,1),\qquad \vec{w}=(0,0,1).
A tarefa é decidir, com justificativa passo a passo, se existe alguma combinação linear não trivial que zere esses vetores.

Passo 2

O que significa ser linearmente independente ou dependente? Vou explicar de um jeito direto:\n
  • Dizemos que os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente dependentes se existem escalares \alpha,\beta,\gamma, não todos nulos, tais que
\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0}.
Ou seja, conseguimos anular a combinação com pelo menos um coeficiente diferente de zero.\n
  • Dizemos que são linearmente independentes se a única solução para
\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0}
é a solução trivial \alpha=\beta=\gamma=0.\n
Então o plano é: montar essa soma vetorial com incógnitas e resolver o sistema resultante. Se a única solução for trivial, temos L.I.; se existir solução não trivial, temos L.D.

Passo 3

Escrevemos a combinação linear com incógnitas \alpha,\beta,\gamma:
\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0}.
Substituindo os vetores dados:
\alpha(1,0,1)+\beta(1,2,1)+\gamma(0,0,1)=(0,0,0).

Passo 4

Agora igualamos componente a componente (cada coordenada do vetor resultante deve ser zero). Isso gera um sistema de equações lineares:
\begin{cases} \alpha+\beta+0\gamma=0,\\[4pt] 0\alpha+2\beta+0\gamma=0,\\[4pt] \alpha+\beta+\gamma=0. \end{cases}
Vou simplificar cada equação para ficar bem claro.]

Passo 5

Da segunda equação temos:
2\beta=0.
Dividindo por 2 (coisa simples), obtemos
\beta=0.
Isso já é um ganho grande: um dos coeficientes é necessariamente zero.

Passo 6

Substituímos \beta=0 na primeira equação \alpha+\beta=0. Assim:
\alpha+0=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha=0.
Mais um coeficiente fixado como zero.

Passo 7

Agora substituímos \alpha=0 e \beta=0 na terceira equação \alpha+\beta+\gamma=0:
0+0+\gamma=0 \quad\Rightarrow\quad \gamma=0.
Logo o terceiro coeficiente também é zero.

Passo 8

Concluímos que a única solução do sistema é
\alpha=\beta=\gamma=0,
ou seja, apenas a solução trivial existe. Pela definição vista no Passo 2, isso significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 9

(Pequena observação de reforço: outra forma rápida — só para lembrar — seria montar a matriz cujas colunas são \vec{u},\vec{v},\vec{w} e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são L.I. Se fizermos isso:)
A=\begin{pmatrix}1&1&0\\[4pt]0&2&0\\[4pt]1&1&1\end{pmatrix}
o determinante de A é 2\neq0, confirmando que são L.I. (mas o procedimento do sistema já foi suficiente e mais elementar).]

Resposta

Linearmente independentes.

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