Sejam (A, B) e (C, D) segmentos orientados. Demonstre que \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D} se, e somente, (A, B) e (C, D) são equipolentes.
Passo 1
O enunciado dá dois segmentos orientados (A,B) e (C,D) e pede para provar a equivalência entre duas afirmações:
\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D}.
(A,B) e (C,D) são equipolentes.
Informações relevantes: estamos no plano euclidiano (ou espaço euclidiano) com a noção usual de segmento orientado e de vetor. Não há outras informações extras no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar bem claro o que significa cada uma das duas afirmações (ensinando a noção usada).
Definição de \overrightarrow{A B}: é o vetor deslocamento que leva o ponto A ao ponto B. Se usarmos coordenadas vetoriais, podemos escrever simbolicamente \overrightarrow{A B}=\vec{b}-\vec{a}, onde \vec{a} e \vec{b} são os vetores posição de A e B.
O que significa \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D}? Geometricamente, quer dizer que os dois vetores têm a mesma direção, o mesmo sentido (orientação) e o mesmo módulo (comprimento). Em termos algébricos, significa que, se colocarmos caudas dos dois vetores no mesmo ponto, as pontas coincidem; ou seja, o deslocamento de A a B é o mesmo deslocamento de C a D.
Definição de “equipolentes”: direi aqui a definição que vamos usar (a mais comum em geometria elementar): os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes quando eles podem ser colocados como lados opostos de um mesmo paralelogramo. Em outras palavras, existem pontos que formam um paralelogramo cujos lados opostos são exatamente os segmentos AB e CD. Uma outra descrição equivalente (que vamos também usar) é: há uma translação que leva A em C e simultaneamente B em D.
Observação útil: mostrar que um quadrilátero é um paralelogramo pode ser feito de várias maneiras; uma condição simples que usamos é: se um par de lados opostos é paralelo e tem igual comprimento, então o quadrilátero é um paralelogramo.
Passo 3
Prova da implicação direta: suponha \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D}. Vou mostrar que (A,B) e (C,D) são equipolentes.
Explicação didática do raciocínio: a igualdade dos vetores significa que o deslocamento de A a B é exatamente o mesmo deslocamento de C a D. Isso tem duas consequências imediatas: (i) os segmentos AB e CD têm o mesmo comprimento; (ii) são paralelos e com o mesmo sentido.
Formalizando: da hipótese \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D} vem que AB e CD são paralelos (AB\parallel CD) e |AB|=|CD|. Agora considere o quadrilátero cujos vértices, na ordem, são A,B,D,C. Os lados desse quadrilátero são AB, BD, DC e CA. Entre esses, os lados opostos AB e DC são paralelos e congruentes (mesmo comprimento), por construção. Pelo teorema elementar: “se dois lados opostos de um quadrilátero são paralelos e congruentes então o quadrilátero é um paralelogramo”, concluímos que A,B,D,C formam um paralelogramo. Assim AB e CD são lados opostos de um paralelogramo, isto é, (A,B) e (C,D) são equipolentes.
Comentário intuitivo: outra maneira de ver é construir a translação de vetor \overrightarrow{A B}; essa translação leva C para D porque \overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A B}. Logo existe translação que envia A\mapsto C e B\mapsto D, caracterizando equipolência.
Passo 4
Provando a implicação recíproca: suponha agora que (A,B) e (C,D) são equipolentes. Vou mostrar \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D}.
Pelo que adotamos como definição, “equipolentes” significa que há um paralelogramo em que AB e CD são lados opostos; alternativamente, existe uma translação T que leva A em C e B em D.
Usando a descrição por translação: seja T a translação que leva A em C. Como T é isometria e preserva direção e sentido dos vetores, T(B) é o ponto obtido aplicando ao vetor \overrightarrow{A B} a mesma translação; pela equipolência essa imagem é exatamente D. Logo T leva o segmento orientado (A,B) no segmento orientado (C,D). Uma translação preserva vetores (o vetor deslocamento permanece o mesmo), portanto \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D}.
Usando a propriedade do paralelogramo: se AB e CD são lados opostos de um paralelogramo, então, por definição geométrica do paralelogramo, AB\parallel CD e |AB|=|CD| e têm o mesmo sentido (pois são lados “na mesma direção” do paralelogramo). Essas três propriedades implicam exatamente que \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D}.
Passo 5
Resumo do argumento e justificativa dos passos usados (mini-aula prática):
Igualdade de vetores significa “mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido”. Em provas, às vezes é mais prático usar a linguagem da translação: \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D} se, e somente se, a translação de vetor \overrightarrow{A B} leva C em D.
Equipolência pode ser definida via paralelogramo (lados opostos) ou via existência de translação que leva um segmento no outro. Essas definições são equivalentes: se existe translação que leva A em C e B em D, então os pontos A,B,D,C formam um paralelogramo; se A,B,D,C é um paralelogramo então a translação que leva A em C leva B em D.
Assim, provar \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D} implica construir o paralelogramo (ou exibir a translação), e a hipótese de equipolência dá diretamente a existência dessa translação/paralelogramo. Os dois sentidos seguem de forma direta e elementar.
Passo 6
Conclusão final do raciocínio: mostramos que cada uma das condições implica a outra. Portanto as duas propriedades são equivalentes: \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D} se, e somente se, (A,B) e (C,D) são equipolentes.
Resposta
\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D} se, e somente se, (A,B) e (C,D) são equipolentes.