Verifique se são lineares as funções definidas nos exercícios a), b), c) e d).
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(2 x-y, 0).
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(2 x-y, 0).
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear proposta e pede para verificar se ela é linear. Informações fornecidas:
- Domínio e contradomínio:
. - Regra da transformação:
O que se pede: verificar se
satisfaz as propriedades de linearidade (ou seja, decidir se
é linear).
Passo 2
O que significa “ser linear” (explicação didática e sem pular etapas).
- Uma aplicação
é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , valem as duas propriedades:
e
- Interpretação: linearidade significa que
preserva soma de vetores e multiplicação por escalares. Uma consequência prática (e útil na prova) é que se for representável por uma multiplicação por matriz , então é linear porque multiplicação por matriz distribui sobre soma e escalares. - Outra consequência fácil de checar: se
é linear, então necessariamente . Isso vem de aplicar a aditividade a .
Passo 3
Vou obter a matriz que representa
(isso ajuda a ver a linearidade de forma direta).
- Tome os vetores canônicos
e . - Calcule
e usando a regra dada:
- A matriz
que representa na base canônica tem como colunas e . Logo
- Assim podemos escrever, para qualquer
,
Passo 4
Por que o fato de ter uma matriz implica linearidade (explicação passo a passo)?
- A multiplicação de matriz satisfaz as propriedades distributiva e de homogeneidade:
para quaisquer vetores
e escalar
. Essas igualdades são consequência direta das operações de soma e produto por escalar coordenada a coordenada.
- Como
, segue imediatamente que satisfaz as duas propriedades de linearidade acima. Portanto é linear. - Mas para ficar bem claro na cara da prova, também faço a verificação direta em coordenadas no passo seguinte.
Passo 5
Verificação direta em coordenadas (contas “mastigadas” para você saber reproduzir na prova).
- Seja
e .
Primeiro calculee aplique :
Desenvolvendo:
Agora calcule
:
Somando:
Observa-se que
- Agora a homogeneidade: seja
e . Calcule e aplique :
Por outro lado,
Logo
- As duas propriedades foram verificadas explicitamente, sem usar nenhuma propriedade avançada:
preserva soma e multiplicação por escalar.
Passo 6
Conclusão amigável: mostramos de duas maneiras (representação matricial e verificação direta) que
satisfaz aditividade e homogeneidade. Portanto
é linear. Se estiver nervoso na prova: calcule
e
— se as imagens forem colunas de uma matriz, já é sinal forte de linearidade; depois, se precisar, repita a verificação direta como fizemos.