Verifique se são lineares as funções definidas nos exercícios a), b), c) e d).
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(2 x-y, 0).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear proposta e pede para verificar se ela é linear. Informações fornecidas:
  • Domínio e contradomínio: \mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{2}.
  • Regra da transformação: T(x,y)=(2x-y,\,0).
O que se pede: verificar se T satisfaz as propriedades de linearidade (ou seja, decidir se T é linear).

Passo 2

O que significa “ser linear” (explicação didática e sem pular etapas).
  • Uma aplicação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(\alpha u)=\alpha\,T(u).
  • Interpretação: linearidade significa que T preserva soma de vetores e multiplicação por escalares. Uma consequência prática (e útil na prova) é que se T for representável por uma multiplicação por matriz A, então T é linear porque multiplicação por matriz distribui sobre soma e escalares.
  • Outra consequência fácil de checar: se T é linear, então necessariamente T(0)=0. Isso vem de aplicar a aditividade a 0+0.

Passo 3

Vou obter a matriz que representa T (isso ajuda a ver a linearidade de forma direta).
  • Tome os vetores canônicos \displaystyle e_{1}=(1,0) e \displaystyle e_{2}=(0,1).
  • Calcule T(e_{1}) e T(e_{2}) usando a regra dada:
T(1,0)=(2\cdot1-0,\,0)=(2,0),
T(0,1)=(2\cdot0-1,\,0)=(-1,0).
  • A matriz A que representa T na base canônica tem como colunas T(e_{1}) e T(e_{2}). Logo
A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
  • Assim podemos escrever, para qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^2,
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}.]

Passo 4

Por que o fato de ter uma matriz implica linearidade (explicação passo a passo)?
  • A multiplicação de matriz satisfaz as propriedades distributiva e de homogeneidade:
A(u+v)=Au+Av, \qquad A(\alpha u)=\alpha (Au),
para quaisquer vetores u,v e escalar \alpha. Essas igualdades são consequência direta das operações de soma e produto por escalar coordenada a coordenada.
  • Como T(x,y)=A(x,y), segue imediatamente que T satisfaz as duas propriedades de linearidade acima. Portanto T é linear.
  • Mas para ficar bem claro na cara da prova, também faço a verificação direta em coordenadas no passo seguinte.

Passo 5

Verificação direta em coordenadas (contas “mastigadas” para você saber reproduzir na prova).
  • Seja u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2).
    Primeiro calcule u+v e aplique T:
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2),
T(u+v)=\bigl(2(x_1+x_2)-(y_1+y_2),\;0\bigr).
Desenvolvendo:
T(u+v)=\bigl(2x_1+2x_2-y_1-y_2,\;0\bigr).
Agora calcule T(u)+T(v):
T(u)=\bigl(2x_1-y_1,\;0\bigr),\qquad T(v)=\bigl(2x_2-y_2,\;0\bigr).
Somando:
T(u)+T(v)=\bigl((2x_1-y_1)+(2x_2-y_2),\;0+0\bigr)=\bigl(2x_1+2x_2-y_1-y_2,\;0\bigr).
Observa-se que
T(u+v)=T(u)+T(v).
  • Agora a homogeneidade: seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y). Calcule \alpha u e aplique T:
\alpha u=(\alpha x,\;\alpha y),
T(\alpha u)=\bigl(2(\alpha x)-(\alpha y),\;0\bigr)=\bigl(\alpha(2x-y),\;0\bigr).
Por outro lado,
\alpha T(u)=\alpha\bigl(2x-y,\;0\bigr)=\bigl(\alpha(2x-y),\;0\bigr).
Logo
T(\alpha u)=\alpha T(u).
  • As duas propriedades foram verificadas explicitamente, sem usar nenhuma propriedade avançada: T preserva soma e multiplicação por escalar.

Passo 6

Conclusão amigável: mostramos de duas maneiras (representação matricial e verificação direta) que T satisfaz aditividade e homogeneidade. Portanto T é linear. Se estiver nervoso na prova: calcule T(e_1) e T(e_2) — se as imagens forem colunas de uma matriz, já é sinal forte de linearidade; depois, se precisar, repita a verificação direta como fizemos.

Resposta

T é linear.

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