Verifique se são lineares as funções definidas nos exercícios a), b), c) e d).
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y, z)=(x-1, y+z).
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y, z)=(x-1, y+z).
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
dada por
é linear. Informação dada:
é linear. Informação dada:
- Domínio:
. - Contradomínio:
. - Regra: a primeira componente é
e a segunda é .
Pergunta: determinar sesatisfaz a definição de transformação linear.
Passo 2
Definição prática de linearidade (a que vamos usar, passo a passo):
Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem
Uma transformação
(e aditividade) e
(homogeneidade). Uma maneira rápida e equivalente de testar linearidade é verificar se
onde
é o vetor nulo em
e o nulo em
. Se
então
não é linear.
Passo 3
Aplicando o teste rápido: calcular
.
O vetor nulo em é
.
Calculemos usando a regra dada:
O vetor nulo em
Calculemos
Passo 4
Interpretação do resultado do passo anterior:
Como
Como
temos
. Isso já é suficiente para concluir que
não é linear, porque toda transformação linear deve enviar o vetor nulo do domínio para o vetor nulo do contradomínio.
Passo 5
Para reforçar a compreensão, mostro explicitamente a falha das propriedades (opcional na prova, mas didático).
Sejam e
. Então
Sejam
Por outro lado,
As segundas componentes coincidem, mas as primeiras diferem por
:
Portanto a aditividade falha (para quaisquer
observa-se essa diferença constante).
Passo 6
Mostro também um contraexemplo numérico simples para a homogeneidade (útil em prova curta):
Tome e
. Então
Tome
enquanto
Como
(pois
), a homogeneidade também falha. Mais uma confirmação de que
não é linear.
Passo 7
Observação adicional (útil para a prova):
é uma transformação afim (ou seja, uma transformação linear deslocada). Escreve-se
onde, com
,
Aqui
é linear, e o termo
é a razão da não linearidade. Se
fosse
, a transformação seria linear.]
Passo 8
Dica final para a prova (como checar rápido): ao ver uma fórmula do tipo “componente menos uma constante” (por exemplo
), suspeite imediatamente de não linearidade; calcule
e, se der diferente de
, encerre — é suficiente e rápido.