Verifique se são lineares as funções definidas nos exercícios a), b), c) e d).
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y, z)=(x-1, y+z).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
T(x,y,z)=(x-1,\;y+z)
é linear. Informação dada:
  • Domínio: \mathbb{R}^{3}.
  • Contradomínio: \mathbb{R}^{2}.
  • Regra: a primeira componente é x-1 e a segunda é y+z.
    Pergunta: determinar se T satisfaz a definição de transformação linear.

Passo 2

Definição prática de linearidade (a que vamos usar, passo a passo):
Uma transformação T é linear se, para quaisquer vetores
\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^{3} e qualquer escalar
\alpha\in\mathbb{R}, valem
T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})
(e aditividade) e
T(\alpha \mathbf{u}) = \alpha\, T(\mathbf{u})
(homogeneidade). Uma maneira rápida e equivalente de testar linearidade é verificar se
T(\mathbf{0}) = \mathbf{0},
onde \mathbf{0} é o vetor nulo em \mathbb{R}^{3} e o nulo em \mathbb{R}^{2}. Se T(\mathbf{0})\neq\mathbf{0} então T não é linear.

Passo 3

Aplicando o teste rápido: calcular T(\mathbf{0}).
O vetor nulo em \mathbb{R}^{3} é \mathbf{0}=(0,0,0).
Calculemos T(0,0,0) usando a regra dada:
T(0,0,0) = (0-1,\;0+0) = (-1,\;0).

Passo 4

Interpretação do resultado do passo anterior:
Como
T(0,0,0) = (-1,0) \neq (0,0),
temos T(\mathbf{0})\neq\mathbf{0}. Isso já é suficiente para concluir que T não é linear, porque toda transformação linear deve enviar o vetor nulo do domínio para o vetor nulo do contradomínio.

Passo 5

Para reforçar a compreensão, mostro explicitamente a falha das propriedades (opcional na prova, mas didático).
Sejam \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2). Então
T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2) = (x_1+x_2-1,\;y_1+y_2+z_1+z_2).
Por outro lado,
T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}) = (x_1-1,\;y_1+z_1) + (x_2-1,\;y_2+z_2) = (x_1+x_2-2,\;y_1+y_2+z_1+z_2).
As segundas componentes coincidem, mas as primeiras diferem por 1:
x_1+x_2-1 \neq x_1+x_2-2.
Portanto a aditividade falha (para quaisquer \mathbf{u},\mathbf{v} observa-se essa diferença constante).

Passo 6

Mostro também um contraexemplo numérico simples para a homogeneidade (útil em prova curta):
Tome \mathbf{v}=(1,0,0) e \alpha=2. Então
T(\mathbf{v}) = T(1,0,0) = (1-1,\;0+0) = (0,0),
enquanto
T(2\mathbf{v}) = T(2,0,0) = (2-1,\;0) = (1,0).
Como T(2\mathbf{v}) \neq 2\,T(\mathbf{v}) (pois (1,0)\neq(0,0)), a homogeneidade também falha. Mais uma confirmação de que T não é linear.

Passo 7

Observação adicional (útil para a prova): T é uma transformação afim (ou seja, uma transformação linear deslocada). Escreve-se
T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} + \mathbf{b},
onde, com \mathbf{x}=(x,y,z),
A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}-1 \\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Aqui A\mathbf{x}=(x,\;y+z) é linear, e o termo \mathbf{b}=(-1,0) é a razão da não linearidade. Se \mathbf{b} fosse \mathbf{0}, a transformação seria linear.]

Passo 8

Dica final para a prova (como checar rápido): ao ver uma fórmula do tipo “componente menos uma constante” (por exemplo (x-1,\dots)), suspeite imediatamente de não linearidade; calcule T(\mathbf{0}) e, se der diferente de \mathbf{0}, encerre — é suficiente e rápido.

Resposta

\,T não é linear.

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