Verifique se as equações abaixo representam uma parábola ou uma parábola degenerada. Caso seja uma parábola, determine seus principais elementos.
3 y^{2}-2 y+1=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a curva dada é uma parábola ou uma parábola degenerada e, se for parábola, determinar seus principais elementos. A equação fornecida é
3y^{2}-2y+1=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Trata‑se de uma cônica geral da forma Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0 com os coeficientes: A=0,\quad B=0,\quad C=3,\quad D=0,\quad E=-2,\quad F=1.
  • A equação não contém a variável x explícita (apenas y), o que é um fato a observar na análise.

Passo 2

Regra rápida para classificar cônicas (parte didática curta e prática):
  • Para a cônica geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0 define‑se o discriminante da parte quadrática por
\Delta_c = B^{2}-4AC.
  • Interpretação do sinal de \Delta_c:
    • \Delta_c>0 indica hipérbole;
    • \Delta_c=0 indica parábola (ou caso limite degenerado de tipo parabólico);
    • \Delta_c<0 indica elipse (ou círculo) ou elipse imaginária.
      Vou aplicar essa regra aos coeficientes que listei.

Passo 3

Calcular \Delta_c com os coeficientes dados:
\Delta_c = B^{2}-4AC = 0^{2}-4\cdot 0\cdot 3 = 0.
Portanto, do ponto de vista do discriminante quadrático, a cônica é do tipo parabólico (isto é, \Delta_c=0). Mas atenção: \Delta_c=0 nos diz que a curva é do tipo parábola ou que ela pode degenerar para um caso mais simples (por exemplo duas retas paralelas, reta dupla, ponto, ou conjunto vazio). Então precisamos checar se a cônica é degenerada.

Passo 4

Teste de degenerescência (didático): a cônica é degenerada se o determinante da matriz simétrica 3×3 associada for zero. Essa matriz é
M=\begin{pmatrix} A & B/2 & D/2\\[4pt] B/2 & C & E/2\\[4pt] D/2 & E/2 & F \end{pmatrix}.
Substituindo os coeficientes:
M=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3 & -1\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Calcular o determinante de M. Como a primeira coluna é toda zero, temos imediatamente
\det M = 0.
Conclusão: a cônica é degenerada.
Explicação curta do que isso significa: ser degenerada significa que a curva representada pode ser decomposta (no fecho adequado) em componentes mais simples como retas ou ser um conjunto vazio; portanto não é uma parábola real não degenerada.]

Passo 5

Análise direta da equação para ver a natureza dos pontos reais (didática prática):
a equação envolve apenas y, então pode ser vista como uma equação quadrática em y:
3y^{2}-2y+1=0.
Usa‑se a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para encontrar as raízes em y. Primeiro calcule o discriminante nessa equação (chamo‑o de \Delta_y):
\Delta_y = (-2)^{2}-4\cdot 3\cdot 1 = 4-12 = -8.
Como \Delta_y<0, a equação não tem raízes reais em y. Isso significa que não existe valor real de y que satisfaça a equação; portanto, no plano real (x,y) não há pontos que satisfaçam a equação — a solução real é o conjunto vazio.
Para completar, as raízes complexas (apenas para informação) são
y=\frac{2\pm\sqrt{-8}}{6}=\frac{1\pm i\sqrt{2}}{3},
logo sobre \mathbb{C} a equação se fatoraria como 3(y-y_{1})(y-y_{2})=0, i.e. união de duas retas horizontais complexas y=y_{1} e y=y_{2}.

Passo 6

Interpretação final e resposta ao que foi pedido:
  • A cônica tem \Delta_c=0 (característica parabólica) mas o determinante da matriz associada é zero, portanto a cônica é degenerada.
  • Além disso, a equação não tem soluções reais (discriminante em y negativo), logo no plano real a curva é o conjunto vazio — não existe uma parábola real associada e, portanto, não há elementos geométricos reais (vértice, eixo, foco, diretriz) para determinar.
  • Sobre \mathbb{C}: a degeneração corresponde à união de duas retas horizontais complexas y=\dfrac{1\pm i\sqrt{2}}{3}.

Resposta

Parábola degenerada (degenerada): a cônica é degenerada e, em \mathbb{R}^2, não possui pontos reais (conjunto vazio).
Em \mathbb{C}: união das duas retas horizontais y=\dfrac{1\pm i\sqrt{2}}{3}.

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