Determine, em cada um dos seguintes casos, se o sistema descrito é ou não um grupo. Em caso negativo, sinalize qual ou quais dos axiomas de grupo não se verificam.
\left(\mathbb{Z}_{+}^{*}, \cdot\right), onde \mathbb{Z}_{+}^{*} é o conjunto de todos os inteiros positivos \mathrm{e} \cdot é o produto usual de \mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o sistema \left(\mathbb{Z}_{+}^{*}, \cdot\right) é um grupo. Informações dadas:
  • O conjunto é \mathbb{Z}_{+}^{*}, ou seja, o conjunto de todos os inteiros positivos.
  • A operação é o produto usual em \mathbb{Z}, denotado por \cdot.
  • Pergunta específica: o sistema é um grupo? Em caso negativo, identificar qual(is) axioma(s) de grupo não se verifica(m).

Passo 2

Vou lembrar, de maneira bem didática, o que é preciso checar para que um conjunto com uma operação seja um grupo. Um conjunto G com uma operação binária \star é um grupo se satisfaz quatro axiomas:
  1. Fechamento: para todo a,b\in G, tem-se a\star b\in G.
  2. Associatividade: para todo a,b,c\in G, tem-se (a\star b)\star c=a\star(b\star c).
  3. Existência de elemento neutro (identidade): existe e\in G tal que, para todo a\in G, e\star a=a\star e=a.
  4. Existência de inversos: para todo a\in G existe a^{-1}\in G tal que a\star a^{-1}=a^{-1}\star a=e.
Esses quatro são obrigatórios. (Observação: se além disso a operação for comutativa, o grupo seria abeliano; mas comutatividade não é exigida para ser grupo.)

Passo 3

Testando o axioma de fechamento para \left(\mathbb{Z}_{+}^{*},\cdot\right).
  • Definição prática: fechamento significa que o produto de dois inteiros positivos é sempre um inteiro positivo.
  • Exemplo concreto: 2\cdot 3=6 e 6\in\mathbb{Z}_{+}^{*}.
  • Argumento geral: se a e b são inteiros positivos, então a\cdot b é um inteiro positivo. Logo o fechamento é satisfeito.
Portanto, o axioma de fechamento verifica-se.

Passo 4

Testando o axioma da associatividade.
  • A multiplicação de inteiros é associativa no conjunto \mathbb{Z}, isto é, para quaisquer inteiros a,b,c vale (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c).
  • Como \mathbb{Z}_{+}^{*} é subconjunto de \mathbb{Z}, a associatividade permanece válida ao restringir para \mathbb{Z}_{+}^{*}.
Portanto, o axioma da associatividade verifica-se.

Passo 5

Testando a existência de elemento neutro (identidade).
  • O elemento 1 é um inteiro positivo: 1\in\mathbb{Z}_{+}^{*}.
  • Para todo a\in\mathbb{Z}_{+}^{*} tem-se 1\cdot a=a\cdot 1=a.
  • Assim 1 é o elemento neutro da operação \cdot em \mathbb{Z}_{+}^{*}.
Logo, o axioma da existência de identidade verifica-se.

Passo 6

Testando a existência de inversos para todos os elementos — aqui costuma quebrar o sistema.
  • A condição exige que, para cada a\in\mathbb{Z}_{+}^{*}, exista b\in\mathbb{Z}_{+}^{*} tal que a\cdot b=1.
  • Se a=1 então b=1 funciona, pois 1\cdot 1=1.
  • Se a\ge 2, então qualquer b\in\mathbb{Z}_{+}^{*} satisfaz a\cdot b\ge 2, logo a\cdot b\neq 1. Em outras palavras, a única maneira de a\cdot b=1 acontecer entre inteiros é quando a=b=1.
  • Exemplos concretos: 2 não tem inverso em \mathbb{Z}_{+}^{*} porque o seu inverso multiplicativo seria \frac{1}{2}, que não é inteiro positivo; mesmo raciocínio para 3,4,\dots.
Conclusão: apenas o elemento 1 possui inverso em \mathbb{Z}_{+}^{*}; a maioria dos elementos (todos os a\ge 2) não tem inverso no conjunto. Portanto, o axioma da existência de inversos falha.

Passo 7

Resumo dos testes:
  • Fechamento: verifica-se.
  • Associatividade: verifica-se.
  • Identidade: existe ( 1), verifica-se.
  • Inversos: NÃO se verificam para todos os elementos (apenas 1 tem inverso).
Por isso o sistema não é um grupo. Um comentário final amigo: se quiséssemos os inversos multiplicativos de todos os elementos, precisaríamos trabalhar no conjunto dos números racionais positivos \mathbb{Q}_{+}^{*} (lá todo inteiro positivo tem inverso \tfrac{1}{n} que é racional), mas em \mathbb{Z}_{+}^{*} isso não ocorre.

Resposta

Não é um grupo.
Axioma que não se verifica: existência de inversos para todos os elementos (apenas \,1\, tem inverso em \mathbb{Z}_{+}^{*}).

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