Determine, em cada um dos seguintes casos, se o sistema descrito é ou não um grupo. Em caso negativo, sinalize qual ou quais dos axiomas de grupo não se verificam.
, onde
é o conjunto de todos os inteiros positivos
é o produto usual de
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o sistema
é um grupo. Informações dadas:
- O conjunto é
, ou seja, o conjunto de todos os inteiros positivos. - A operação é o produto usual em
, denotado por . - Pergunta específica: o sistema é um grupo? Em caso negativo, identificar qual(is) axioma(s) de grupo não se verifica(m).
Passo 2
Vou lembrar, de maneira bem didática, o que é preciso checar para que um conjunto com uma operação seja um grupo. Um conjunto
com uma operação binária
é um grupo se satisfaz quatro axiomas:
- Fechamento: para todo
, tem-se . - Associatividade: para todo
, tem-se . - Existência de elemento neutro (identidade): existe
tal que, para todo , . - Existência de inversos: para todo
existe tal que .
Esses quatro são obrigatórios. (Observação: se além disso a operação for comutativa, o grupo seria abeliano; mas comutatividade não é exigida para ser grupo.)
Passo 3
Testando o axioma de fechamento para
.
- Definição prática: fechamento significa que o produto de dois inteiros positivos é sempre um inteiro positivo.
- Exemplo concreto:
e . - Argumento geral: se
e são inteiros positivos, então é um inteiro positivo. Logo o fechamento é satisfeito.
Portanto, o axioma de fechamento verifica-se.
Passo 4
Testando o axioma da associatividade.
- A multiplicação de inteiros é associativa no conjunto
, isto é, para quaisquer inteiros vale . - Como
é subconjunto de , a associatividade permanece válida ao restringir para .
Portanto, o axioma da associatividade verifica-se.
Passo 5
Testando a existência de elemento neutro (identidade).
- O elemento
é um inteiro positivo: . - Para todo
tem-se . - Assim
é o elemento neutro da operação em .
Logo, o axioma da existência de identidade verifica-se.
Passo 6
Testando a existência de inversos para todos os elementos — aqui costuma quebrar o sistema.
- A condição exige que, para cada
, exista tal que . - Se
então funciona, pois . - Se
, então qualquer satisfaz , logo . Em outras palavras, a única maneira de acontecer entre inteiros é quando . - Exemplos concretos:
não tem inverso em porque o seu inverso multiplicativo seria , que não é inteiro positivo; mesmo raciocínio para .
Conclusão: apenas o elemento
possui inverso em
; a maioria dos elementos (todos os
) não tem inverso no conjunto. Portanto, o axioma da existência de inversos falha.
Passo 7
Resumo dos testes:
- Fechamento: verifica-se.
- Associatividade: verifica-se.
- Identidade: existe (
), verifica-se. - Inversos: NÃO se verificam para todos os elementos (apenas
tem inverso).
Por isso o sistema não é um grupo. Um comentário final amigo: se quiséssemos os inversos multiplicativos de todos os elementos, precisaríamos trabalhar no conjunto dos números racionais positivos
(lá todo inteiro positivo tem inverso
que é racional), mas em
isso não ocorre.
Resposta
Não é um grupo.
Axioma que não se verifica: existência de inversos para todos os elementos (apenas tem inverso em
).
Axioma que não se verifica: existência de inversos para todos os elementos (apenas