Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo e justifique.
Se A e B são independentes, então e B são independentes.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente ver se a afirmação “Se A e B são independentes, então e também são independentes” é verdadeira ou falsa.
Conteúdo: probabilidade, em particular independência de eventos.
O que vamos precisar:
Definição de independência: .
Propriedade de complementar de probabilidade: .
Regra de De Morgan: .
Passo 2
Primeiro, a definição de independência: por hipótese,
P(Acap B)=P(A),P(B)
Isso significa que saber que A ocorreu não altera a chance de B ocorrer, e vice-versa.
Passo 3
Agora, queremos ver o que rola com P(overline A)=1-P(A) e P(overline B)=1-P(B) e . A gente sabe que
Passo 4
Para testar independência de P(overline Acapoverline B) e overline Acapoverline B=Acup B ;Longrightarrow; P(overline Acapoverline B)=1-P(Acup B) , calculamos
Usando De Morgan,
Passo 5
Mas pela fórmula da união,
P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)
Como A e B são independentes, P(Acup B) = P(A)+P(B)-P(A)P(B) . Logo
P(overline Acapoverline B) =1-l[P(A)+P(B)-P(A)P(B)r] =1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)
Então
1-P(A)-P(B)+P(A)P(B) =(1-P(A)),(1-P(B)) = P(overline A),P(overline B)
E isso se rearranja direitinho:
Resposta
Verdadeiro. Como mostramos, , logo e são independentes.