Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo e justifique.
Se
, então
e
são independentes.
Se
Passo 1
Beleza, o enunciado pergunta: “Se
, então
são independentes?”
Isso é um exercício de teoria de probabilidade, mais especificamente sobre independência de eventos.
O que a gente vai usar:
Isso é um exercício de teoria de probabilidade, mais especificamente sobre independência de eventos.
O que a gente vai usar:
- Definição de independência de dois eventos:
. - Definição de independência de três eventos: além da condição acima para cada par, precisa valer também
.
Ou seja, para garantir independência total de três eventos, você tem que checar as três intersecções de pares e a intersecção tripla. A condição do enunciado dá só a parte tripla.
Passo 2
Vamos lembrar direitinho:
- Dois eventos
e são independentes se
- Três eventos
são conjuntamente independentes se TODAS as condições abaixo valem simultaneamente: -
O enunciado só nos dá a última condição (4). Falta garantir (1), (2) e (3).
Passo 3
Para mostrar que não basta a condição tripla, a gente dá um contraexemplo. Só porque
não significa que cada par é independente.
Considere um espaço amostral de 8 resultados equiprováveis:
, cada um com probabilidade
. Defina:
-
→ . -
→ . -
→ .
Vamos checar:
-
, logo EPerfeito, a condição do enunciado vale. -
Agora veja o par
e : MasComo, e não são independentes.
Então falha a condição (3), e por isso não podemos dizer que
são independentes em conjunto.
Resposta
A afirmação é falsa. O fato de
não garante a independência de cada par, que é exigida para a independência conjunta de três eventos.