Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo e justifique.
Se P(A cap B cap C)=P(A) cdot P(B) cdot P(C), então A, B e C são independentes.

Passo 1

Beleza, o enunciado pergunta: “Se , então são independentes?”
Isso é um exercício de teoria de probabilidade, mais especificamente sobre independência de eventos.
O que a gente vai usar:
  • Definição de independência de dois eventos: .
  • Definição de independência de três eventos: além da condição acima para cada par, precisa valer também .
    Ou seja, para garantir independência total de três eventos, você tem que checar as três intersecções de pares e a intersecção tripla. A condição do enunciado dá só a parte tripla.

Passo 2

Vamos lembrar direitinho:
  • Dois eventos P(Xcap Y)=P(X),P(Y) e são independentes se
  • Três eventos são conjuntamente independentes se TODAS as condições abaixo valem simultaneamente:
O enunciado só nos dá a última condição (4). Falta garantir (1), (2) e (3).

Passo 3

Para mostrar que não basta a condição tripla, a gente dá um contraexemplo. Só porque P(Acap Bcap C)=18 não significa que cada par é independente.
Considere um espaço amostral de 8 resultados equiprováveis: P(A),P(B),P(C)=tfrac12cdottfrac12cdottfrac12=18 , cada um com probabilidade Bcap C = 1, P(Bcap C)=18 . Defina:
  • P(B),P(C)=tfrac12cdottfrac12=14 .
  • .
  • .
Vamos checar:
  1. , logo
    E
    Perfeito, a condição do enunciado vale.
  2. Agora veja o par e :
    Mas
    Como , e não são independentes.
Então falha a condição (3), e por isso não podemos dizer que são independentes em conjunto.

Resposta

A afirmação é falsa. O fato de não garante a independência de cada par, que é exigida para a independência conjunta de três eventos.

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