Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo e justifique.
então
.
Passo 1
Então, a questão pede pra gente dizer se a afirmação
\quad “Se
então
”
é verdadeira ou falsa, e justificar. Isso cai na matéria de Probabilidade (mais precisamente teoria de medida), onde
é uma medida de probabilidade. Para resolver, a gente vai precisar:
- Lembrar a definição básica de medida de probabilidade e suas propriedades (em especial, que
e que só garante não-negatividade). - Mostrar que o valor zero não obriga o conjunto a ser vazio, dando um contraexemplo.
Passo 2
Antes de tudo, recapitulemos o que é uma medida de probabilidade
num espaço amostral
:
- Não-negatividade: para qualquer evento
, vale - Normalização:
- Contagem infinita (ou finita) aditiva: se
são eventos disjuntos dois a dois, então
Dessas propriedades já decorre que
porque
é a união vazia (ou use monotonicidade simples:
).
Passo 3
Agora, a afirmação contrária que supomos é: “se
, então
tem que ser vazio”.
Mas note que a definição só diz que um conjunto vazio tem probabilidade zero. Não fala nada de que todo conjunto de probabilidade zero seja o vazio. Em outras palavras, não há nenhum teorema em Probabilidade que garanta a implicação inversa
Mas note que a definição só diz que um conjunto vazio tem probabilidade zero. Não fala nada de que todo conjunto de probabilidade zero seja o vazio. Em outras palavras, não há nenhum teorema em Probabilidade que garanta a implicação inversa
Na verdade, existem muitos conjuntos não-vazios que têm probabilidade zero: eles são chamados de conjuntos nulos ou de medida zero.
Passo 4
Vamos dar um contraexemplo clássico e simples:
- Considere o espaço amostral
com a distribuição uniforme (ou seja, a medida de Lebesgue normalizada). - Se você pegar um único ponto, digamos
, então intuitivamente a chance de sair exatamente 0.37 é zero. De fato, embora .
Isso mostra que um evento não-vazio pode perfeitamente ter probabilidade zero.
Resposta
A afirmação é falsa. Um conjunto pode ser não-vazio e mesmo assim ter
, como no caso de pontos isolados em uma distribuição contínua.