Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo e justifique.
Se P(A)=0 então A=varnothing.

Passo 1

Então, a questão pede pra gente dizer se a afirmação
\quad “Se então
é verdadeira ou falsa, e justificar. Isso cai na matéria de Probabilidade (mais precisamente teoria de medida), onde é uma medida de probabilidade. Para resolver, a gente vai precisar:
  • Lembrar a definição básica de medida de probabilidade e suas propriedades (em especial, que e que só garante não-negatividade).
  • Mostrar que o valor zero não obriga o conjunto a ser vazio, dando um contra­exemplo.

Passo 2

Antes de tudo, recapitulemos o que é uma medida de probabilidade P(A)>=0 num espaço amostral P(Omega)=1 :
  1. Não-negatividade: para qualquer evento Pl(cupi Air) =sumi P(Ai) , vale P(varnothing)=0,
  2. Normalização:
  3. Contagem infinita (ou finita) aditiva: se são eventos disjuntos dois a dois, então
Dessas propriedades já decorre que
porque é a união vazia (ou use monotonicidade simples: ).

Passo 3

Agora, a afirmação contrária que supomos é: “se P(A)=0 ;Longrightarrow; A=varnothing , então tem que ser vazio”.
Mas note que a definição só diz que um conjunto vazio tem probabilidade zero. Não fala nada de que todo conjunto de probabilidade zero seja o vazio. Em outras palavras, não há nenhum teorema em Probabilidade que garanta a implicação inversa
Na verdade, existem muitos conjuntos não-vazios que têm probabilidade zero: eles são chamados de conjuntos nulos ou de medida zero.

Passo 4

Vamos dar um contra­exemplo clássico e simples:
  • Considere o espaço amostral Pl(0.37r)=0, com a distribuição uniforme (ou seja, a medida de Lebesgue normalizada).
  • Se você pegar um único ponto, digamos , então intuitivamente a chance de sair exatamente 0.37 é zero. De fato, embora .
    Isso mostra que um evento não-vazio pode perfeitamente ter probabilidade zero.

Resposta

A afirmação é falsa. Um conjunto pode ser não-vazio e mesmo assim ter , como no caso de pontos isolados em uma distribuição contínua.

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