Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo e justifique.
SeP(A cap B)=1, então A=B=S.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: “Se , então .”
Conteúdo: estamos em probabilidade e teoria de conjuntos. Vamos usar axiomas de probabilidade (em especial que e que se então ), além de raciocinar sobre conjuntos que têm probabilidade zero.
O que vai rolar:
  • Mostrar o que a condição implica em termos de e .
  • Ver que isso não força e a serem exatamente iguais a , mas só iguais “quase sempre” (podem faltar uns pontinhos de probabilidade zero).
  • Dar um contra­exemplo simples pra ver que a afirmação é falsa.

Passo 2

Primeiro, lembrando a teoria:
  1. Por axioma, P(Acap B);<=;P(A);<=;P(S) .
  2. Se P(A)=1 , então P(A)=P(B)=1 .
Agora, temos A = S setminus N1, B = S setminus N2, . Como , aplicando a desigualdade de conjuntos:
Mas e , então obrigatoriamente
O mesmo raciocínio vale pra : como , dá .
Ou seja, de tiramos só que
Isso quer dizer que tanto quanto “cobrem” todo o espaço com probabilidade total, mas em teoria de medida é permitido que um conjunto de probabilidade zero seja deixado de fora. Ou seja, podemos ter
onde e têm probabilidade zero.

Passo 3

Contra­exemplo clássico (em contínuo):
  • Tome A = [0,1]setminus0, B = [0,1]setminus1 com a medida de Lebesgue (ou prob. uniforme).
  • Defina P(A)=P(B)=1 e P(Acap B)=Pl([0,1]setminus0,1r)=1
Então cada um desses retira só um ponto, que tem medida (probabilidade) zero. Logo
Porém (está sem o zero) e (está sem o um). Assim temos sem que .

Resposta

A afirmação é falsa.

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