Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo e justifique.
, então
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz: “Se
, então
.”
Conteúdo: estamos em probabilidade e teoria de conjuntos. Vamos usar axiomas de probabilidade (em especial que e que se
então
), além de raciocinar sobre conjuntos que têm probabilidade zero.
Conteúdo: estamos em probabilidade e teoria de conjuntos. Vamos usar axiomas de probabilidade (em especial que
O que vai rolar:
- Mostrar o que a condição
implica em termos de e . - Ver que isso não força
e a serem exatamente iguais a , mas só iguais “quase sempre” (podem faltar uns pontinhos de probabilidade zero). - Dar um contraexemplo simples pra ver que a afirmação é falsa.
Passo 2
Primeiro, lembrando a teoria:
- Por axioma,
. - Se
, então .
Agora, temos
. Como
, aplicando a desigualdade de conjuntos:
Mas
e
, então obrigatoriamente
O mesmo raciocínio vale pra
: como
, dá
.
Ou seja, de
tiramos só que
Isso quer dizer que tanto
quanto
“cobrem” todo o espaço com probabilidade total, mas em teoria de medida é permitido que um conjunto de probabilidade zero seja deixado de fora. Ou seja, podemos ter
onde
e
têm probabilidade zero.
Passo 3
Contraexemplo clássico (em contínuo):
- Tome
com a medida de Lebesgue (ou prob. uniforme). - Defina
Então cada um desses retira só um ponto, que tem medida (probabilidade) zero. Logo
Porém
(está sem o zero) e
(está sem o um). Assim temos
sem que
.
Resposta
A afirmação é falsa.