e pede para verificar se f é diferenciável em (0,0). Para isso, precisamos analisar a existência das derivadas parciais em (0,0) e a continuidade de f nesse ponto, pois diferenciabilidade implica continuidade.]
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais em (0,0) pelo limite de diferença quociente:
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
fy(0,0)=limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00-0h=0
Logo, existem as derivadas parciais e o candidato a diferencial linear é L(x,y)=0.
Passo 3
Verifiquemos agora a continuidade em (0,0). Se lim(x,y)to(0,0)f(x,y)neq0, então f não é contínua e, portanto, não diferenciável. Considere o caminho y=kx com kneq0:
Esse valor não depende de x e varia com k. Por exemplo, se k=1 obtemos tfrac12, e se k=2 obtemos tfrac25. Como o limite depende da direção de aproximação,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
não existe (ou, em particular, não é igual a 0). Logo, f é descontínua em (0,0).
Resposta
A função f não é diferenciável em (0,0), pois falha a condição de continuidade nesse ponto.