Verifique se a seguinte função é diferenciável em (0,0) :
f(x, y)=ll x yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= x,yx^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,& (x,y)=(0,0),
e pede para verificar se f é diferenciável em (0,0). Para isso, precisamos analisar a existência das derivadas parciais em (0,0) e a continuidade de f nesse ponto, pois diferenciabilidade implica continuidade.]

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais em (0,0) pelo limite de diferença quociente:
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
fy(0,0)=limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00-0h=0
Logo, existem as derivadas parciais e o candidato a diferencial linear é L(x,y)=0.

Passo 3

Verifiquemos agora a continuidade em (0,0). Se lim(x,y)to(0,0)f(x,y)neq0, então f não é contínua e, portanto, não diferenciável. Considere o caminho y=kx com kneq0:
f(x,kx) =x,(k x)x^2+(k x)^2 =kx^2x^2(1+k^2) =k1+k^2
Esse valor não depende de x e varia com k. Por exemplo, se k=1 obtemos tfrac12, e se k=2 obtemos tfrac25. Como o limite depende da direção de aproximação,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
não existe (ou, em particular, não é igual a 0). Logo, f é descontínua em (0,0).

Resposta

A função f não é diferenciável em (0,0), pois falha a condição de continuidade nesse ponto.

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