Exercício 2.11. Prove o seguinte princípio de comparação: Se u ev são duas soluções da equação do calor que satisfazem as mesmas condições de fronteira e tais que
u(x, 0) <= v(x, 0)
para todo 0 <= x <= L, então
u(x, t) <= v(x, t)
para todo 0 <= x <= L e para todo t >= 0.

Passo 1

O enunciado trata de duas soluções u(x,t) e v(x,t) da equação do calor
ut = kappa,uxx, vt = kappa,vxx,
em 0<= x<= L, t>=0, sujeitas às mesmas condições de fronteira (por exemplo Dirichlet iguais em x=0 e x=L) e com
u(x,0)<= v(x,0)para todo 0<= x<= L
Queremos mostrar que então
u(x,t)<= v(x,t)para todo 0<= x<= L,;t>=0
O conteúdo usado será o Princípio do Máximo para a equação do calor.

Passo 2

Definimos a diferença
w(x,t)=u(x,t)-v(x,t)
Como u e v satisfazem a mesma equação do calor, obtemos
wt = ut - vt = kappa,(uxx-vxx) = kappa,wxx
Pelas condições de fronteira iguais de u e v, tem-se
w(0,t)=0, w(L,t)=0forall,t>=0,
e pela hipótese inicial
w(x,0)=u(x,0)-v(x,0)<=0forall,xin[0,L]

Passo 3

Aplicamos o Princípio do Máximo: suponha, por absurdo, que exista um ponto interior (x0,t0) com t0>0 em que w atinja um valor máximo positivo M=w(x0,t0)>0. Nesse ponto interior vale
wt(x0,t0)>=0 e wxx(x0,t0)<=0
Logo
wt - kappa,wxxl(x0,t0r)>=0 - kappacdot(<=0);=;0,
porém a equação diz que exatamente
wt - kappa,wxx=0
em todo ponto, gerando contradição com M>0. Portanto não pode haver máximo positivo no interior. Como nas fronteiras w=0 e inicialmente w<=0, concluímos que o máximo global de w é <=0. Assim
w(x,t)<=0forall,x,t

Resposta

u(x,t)<= v(x,t) para todo 0<= x<= L,;t>=0,
o que prova o princípio de comparação.

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