Exercício 2.11. Prove o seguinte princípio de comparação: Se u ev são duas soluções da equação do calor que satisfazem as mesmas condições de fronteira e tais que
para todo
, então
para todo
e para todo
.
Passo 1
O enunciado trata de duas soluções
e
da equação do calor
em
,
, sujeitas às mesmas condições de fronteira (por exemplo Dirichlet iguais em
e
) e com
Queremos mostrar que então
O conteúdo usado será o Princípio do Máximo para a equação do calor.
Passo 2
Definimos a diferença
Como
e
satisfazem a mesma equação do calor, obtemos
Pelas condições de fronteira iguais de
e
, tem-se
e pela hipótese inicial
Passo 3
Aplicamos o Princípio do Máximo: suponha, por absurdo, que exista um ponto interior
com
em que
atinja um valor máximo positivo
. Nesse ponto interior vale
Logo
porém a equação diz que exatamente
em todo ponto, gerando contradição com
. Portanto não pode haver máximo positivo no interior. Como nas fronteiras
e inicialmente
, concluímos que o máximo global de
é
. Assim
Resposta
o que prova o princípio de comparação.