Efetue as seguintes as seguintes operações envolvendo matrizes sobre \mathbb{R} :
\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\ 2 & 3 & 2 \\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a matriz A de ordem 3 sobre \mathbb{R} e pede para calcular A^{2}. Vou listar claramente o que foi dado e o que se quer:
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 3 & 2 \\[4pt] 0 & 1 & 0\end{pmatrix}
O que se pede: calcular \,A^{2}=A\cdot A.]

Passo 2

Relembre como multiplicar matrizes (mini-aula): se C=A\cdot B com A e B de ordem 3, o elemento da posição (i,j) de C, denotado c_{ij}, é dado por
c_{ij}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\,b_{kj},
ou seja, multiplica-se a i-ésima linha de A pela j-ésima coluna de B e soma-se os produtos. Aqui vamos aplicar essa regra com B=A, então
(A^{2})_{ij}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\,a_{kj}.
Explicando as letras: a_{ik} é o elemento da linha i e coluna k de A; o somatório vai somar três termos (pois a matriz é 3\times3).

Passo 3

Calcular a primeira linha de A^{2}. A primeira linha de A é (1,0,0). Multiplicando essa linha por cada coluna de A:
(A^{2})_{11}=1\cdot a_{11}+0\cdot a_{21}+0\cdot a_{31}=1\cdot1+0\cdot2+0\cdot0=1,
(A^{2})_{12}=1\cdot a_{12}+0\cdot a_{22}+0\cdot a_{32}=1\cdot0+0\cdot3+0\cdot1=0,
(A^{2})_{13}=1\cdot a_{13}+0\cdot a_{23}+0\cdot a_{33}=1\cdot0+0\cdot2+0\cdot0=0.
Portanto a primeira linha de A^{2} é (1,0,0).

Passo 4

Calcular a segunda linha de A^{2}. A segunda linha de A é (2,3,2). Multiplicando por cada coluna de A:
(A^{2})_{21}=2\cdot a_{11}+3\cdot a_{21}+2\cdot a_{31}=2\cdot1+3\cdot2+2\cdot0=2+6+0=8,
(A^{2})_{22}=2\cdot a_{12}+3\cdot a_{22}+2\cdot a_{32}=2\cdot0+3\cdot3+2\cdot1=0+9+2=11,
(A^{2})_{23}=2\cdot a_{13}+3\cdot a_{23}+2\cdot a_{33}=2\cdot0+3\cdot2+2\cdot0=0+6+0=6.
Logo a segunda linha de A^{2} é (8,11,6).

Passo 5

Calcular a terceira linha de A^{2}. A terceira linha de A é (0,1,0). Multiplicando por cada coluna de A:
(A^{2})_{31}=0\cdot a_{11}+1\cdot a_{21}+0\cdot a_{31}=0\cdot1+1\cdot2+0\cdot0=2,
(A^{2})_{32}=0\cdot a_{12}+1\cdot a_{22}+0\cdot a_{32}=0\cdot0+1\cdot3+0\cdot1=3,
(A^{2})_{33}=0\cdot a_{13}+1\cdot a_{23}+0\cdot a_{33}=0\cdot0+1\cdot2+0\cdot0=2.
Assim a terceira linha de A^{2} é (2,3,2).

Passo 6

Juntando todas as linhas calculadas, obtemos a matriz A^{2}:
A^{2}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 8 & 11 & 6 \\[4pt] 2 & 3 & 2\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 8 & 11 & 6 \\[4pt] 2 & 3 & 2\end{pmatrix}]

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