Verifique se as seguintes aplicações são injetoras, sobrejetoras, bijetoras e transformações lineares:
, onde
Passo 1
O enunciado define a aplicação
Queremos verificar se
é transformação linear, injetora, sobrejetora e, consequentemente, bijetora. Para isso usaremos definição de linearidade e conceito de independência linear em espaços de funções.
Passo 2
Vamos checar a linearidade. Tomemos dois vetores
e
em
e um escalar
. Então
e ao mesmo tempo
logo
De modo análogo,
Portanto
é linear.
Passo 3
Para a injetividade, suponha
isto é,
As funções
e
são linearmente independentes em
: não existe combinação não trivial que anule ambas em todo intervalo. Logo necessariamente
Isso mostra que o núcleo de
é apenas
, ou seja,
é injetora.
Passo 4
Para a sobrejetividade, observe que o espaço
é infinito–dimensional, enquanto a imagem de
está contida no subespaço gerado por
, que tem dimensão 2. Logo não é possível representar qualquer função contínua de
na forma
. Assim
não é sobrejetora.