Verifique se as seguintes aplicações são injetoras, sobrejetoras, bijetoras e transformações lineares:
F: R^2 C([0,1])^["Nota 1 "], onde F(x, y)=x e^t+y e^2 t

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Fcolon R^2to C([0,1]), F(x,y)=x e^t+y e^2t
Queremos verificar se F é transformação linear, injetora, sobrejetora e, consequentemente, bijetora. Para isso usaremos definição de linearidade e conceito de independência linear em espaços de funções.

Passo 2

Vamos checar a linearidade. Tomemos dois vetores (x1,y1) e (x2,y2) em R^2 e um escalar lambdainR. Então
Fl((x1,y1)+(x2,y2)r) =F(x1+x2,,y1+y2) =(x1+x2)e^t+(y1+y2)e^2t
e ao mesmo tempo
F(x1,y1)+F(x2,y2) =x1e^t+y1e^2t+x2e^t+y2e^2t,
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Fl((x1,y1)+(x2,y2)r) =F(x1,y1)+F(x2,y2)
De modo análogo,
Fl(lambda(x,y)r) =F(lambda x,lambda y) =lambda x e^t+lambda y e^2t =lambdal(xe^t+ye^2tr) =lambda F(x,y)
Portanto F é linear.

Passo 3

Para a injetividade, suponha
F(x,y)=0C([0,1]),
isto é,
x e^t+y e^2t=0 forall,tin[0,1]
As funções e^t e e^2t são linearmente independentes em C([0,1]): não existe combinação não trivial que anule ambas em todo intervalo. Logo necessariamente
x=0 e y=0
Isso mostra que o núcleo de F é apenas (0,0), ou seja, F é injetora.

Passo 4

Para a sobrejetividade, observe que o espaço C([0,1]) é infinito–dimensional, enquanto a imagem de F está contida no subespaço gerado por e^t,e^2t, que tem dimensão 2. Logo não é possível representar qualquer função contínua de [0,1] na forma x e^t+y e^2t. Assim F não é sobrejetora.

Resposta

F é transformação linear e injetora, mas não é sobrejetora, portanto não é bijetora.

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