Diz-se que uma matriz (real ou complexa) é positiva, se encarada como um operador linear em for positiva. (Analogamente, se define uma matriz definida positiva.) Demonstre que é positiva (definida positiva) se, e somente se,
para quaisquer em .
Passo 1
Estamos em (com ou ) munidos do produto interno padrão
Uma matriz Ain Mn(K) define o operador linear xmapsto Ax. Dizemos que A é positiva se
lang<= Ax,xrang<= >= 0forall,xinK^n,
e definida positiva se a desigualdade for estrita para xneq0. O objetivo é mostrar que isto ocorre exatamente quando
A é hermitiana, isto é, aij=aji para todos i,j,
a forma quadrática associada
sumi,j=1^n aij,xi,xj
é sempre não negativa (ou estritamente positiva).
Passo 2
Mostramos primeiro que, se A é positiva, então A é hermitiana, isto é, lang<= Ax,yrang<==lang<= Ay,xrang<=. Para isso usemos a identidade de polarização (válida em espaços com produto interno sobre C, e mais simples em R):
onde Q(z)=lang<= Az,zrang<=. Como A é positiva, Q(z) é sempre real, e a expressão acima revela que lang<= Ax,yrang<= é o conjugado de lang<= Ay,xrang<=. Logo A^*=A.
Em particular, escolhendo a base canônica e1,dots,en, temos
onde, na última igualdade, apenas trocamos os índices irightarrow j. A positividade de A exige justamente que
sumi,j=1^n aij,xi,xj>=0 forall,xinK^n,
e definida positividade correspondente ao “>0” para xneq0.
Passo 4
Para o recíproco, suponha que os coeficientes satisfaçam
aij=aji,
sumi,jaij,xi,xj>=0 para todo x.
Então o operador A representado por essa matriz é hermitiano e lang<= Ax,xrang<=>=0; por definição, A é positivo (e se a forma for estritamente positiva em xneq0, então A é definida positiva).
Resposta
Ficou demonstrado que A é positiva (definida positiva) se, e somente se,