Diz-se que uma matriz n times n (real ou complexa) A=(ai j) é positiva, se A encarada como um operador linear em K^n for positiva. (Analogamente, se define uma matriz definida positiva.) Demonstre que A é positiva (definida positiva) se, e somente se, ai j=barai j e
sumi, j=1^n ai j xi barxj >= 0 (>0)
para quaisquer (x1, cdots, xn) em K^n.

Passo 1

Estamos em K^n (com K=R ou C) munidos do produto interno padrão
lang<= x,yrang<= = sumk=1^n xk,yk
Uma matriz Ain Mn(K) define o operador linear xmapsto Ax. Dizemos que A é positiva se
lang<= Ax,xrang<= >= 0forall,xinK^n,
e definida positiva se a desigualdade for estrita para xneq0. O objetivo é mostrar que isto ocorre exatamente quando
  1. A é hermitiana, isto é, aij=aji para todos i,j,
  2. a forma quadrática associada
sumi,j=1^n aij,xi,xj
é sempre não negativa (ou estritamente positiva).

Passo 2

Mostramos primeiro que, se A é positiva, então A é hermitiana, isto é, lang<= Ax,yrang<==lang<= Ay,xrang<=. Para isso usemos a identidade de polarização (válida em espaços com produto interno sobre C, e mais simples em R):
lang<= Ax,yrang<= =tfrac14l(Q(x+y)-Q(x-y)+i,Q(x+iy)-i,Q(x-iy)r),
onde Q(z)=lang<= Az,zrang<=. Como A é positiva, Q(z) é sempre real, e a expressão acima revela que
lang<= Ax,yrang<= é o conjugado de lang<= Ay,xrang<=. Logo A^*=A.
Em particular, escolhendo a base canônica e1,dots,en, temos
aij=lang<= Aej,eirang<= =lang<= Aei,ejrang<= =aji,
o que prova a condição hermitiana dos coeficientes.

Passo 3

Sabendo que A é hermitiana, o produto interno lang<= Ax,xrang<= pode ser escrito em coordenadas como
lang<= Ax,xrang<= =sumi=1^n (Ax)i,xi =sumi,j=1^n aij,xj,xi =sumi,j=1^n aij,xi,xj,
onde, na última igualdade, apenas trocamos os índices irightarrow j. A positividade de A exige justamente que
sumi,j=1^n aij,xi,xj>=0 forall,xinK^n,
e definida positividade correspondente ao “ >0” para xneq0.

Passo 4

Para o recíproco, suponha que os coeficientes satisfaçam
  1. aij=aji,
  2. sumi,jaij,xi,xj>=0 para todo x.
    Então o operador A representado por essa matriz é hermitiano e lang<= Ax,xrang<=>=0; por definição, A é positivo (e se a forma for estritamente positiva em xneq0, então A é definida positiva).

Resposta

Ficou demonstrado que A é positiva (definida positiva) se, e somente se,
aij=aji e sumi,j=1^n aij,xi,xj>=0;(,>0,),
para todo l(x1,dots,xnr)inK^n.

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