Verifique se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo, encontre uma função potencial.
\vec{p}(x, y, z)=\operatorname{sen} y \vec{i}-\cos x \vec{j}+\vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
\vec{p}(x,y,z)=\sin y\,\vec{i}-\cos x\,\vec{j}+\vec{k}
é conservativo em algum domínio. Se for conservativo, temos que encontrar uma função potencial. Informações dadas que vamos usar: os componentes do campo são
P(x,y,z)=\sin y,\qquad Q(x,y,z)=-\cos x,\qquad R(x,y,z)=1.

Passo 2

O que significa “conservativo” e como testar? Vou explicar de maneira prática e direta. Um campo vetorial \vec{F}=P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k} definido num domínio aberto e simplesmente conectado de \mathbb{R}^3 é conservativo (ou seja, existe uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{F}) se, e somente se, o rotacional de \vec{F} for o vetor nulo em todo esse domínio. O rotacional (curl) é definido por
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k}.
Vou aplicar essa fórmula ao campo \vec{p}.

Passo 3

Calculo das derivadas parciais que entram no rotacional.
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(1)=0.
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(-\cos x)=0 (pois Q não depende de z).
    Logo a componente \vec{i} do rotacional é 0-0=0.
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(\sin y)=0 (pois P não depende de z).
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(1)=0.
    Logo a componente \vec{j} do rotacional é 0-0=0.
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-\cos x)=\sin x.
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(\sin y)=\cos y.
    Logo a componente \vec{k} do rotacional é \sin x-\cos y.
Portanto
\nabla\times\vec{p}=(0,0,\sin x-\cos y).

Passo 4

Interpretação do resultado: para o campo ser conservativo num domínio aberto e simplesmente conectado, precisamos de \nabla\times\vec{p}=\vec{0} em todo esse domínio. Aqui isso exigiria
\sin x-\cos y=0\qquad\text{para todos }(x,y,z)\text{ no domínio}.í
Vou mostrar que essa igualdade não pode ser verdadeira em qualquer domínio aberto (isto é, não existe um aberto nonvazio em \mathbb{R}^3 onde \sin x-\cos y se anule identicamente).
Suponha, por contradição, que exista um aberto U\subset\mathbb{R}^3 tal que \sin x-\cos y=0 para todo (x,y,z)\in U. Fixe um ponto (x_0,y_0,z_0)\in U. Como U é aberto, existem intervalos abertos em x e y ao redor de x_0,y_0 tal que variando x com y=y_0 permanecemos em U. Tomando derivada da igualdade \sin x-\cos y=0 em relação a x com y fixo obtemos
\cos x=0
em um intervalo de valores de x. Mas isso é impossível: \cos x não pode ser zero em todo um intervalo aberto (é zero apenas em pontos isolados x=\pi/2+k\pi). Essa contradição mostra que não existe aberto U onde \sin x-\cos y seja identicamente zero. Logo o rotacional não é nulo em nenhuma região aberta não trivial de \mathbb{R}^3.

Passo 5

Outra maneira de ver a impossibilidade (útil para prova direta): tentar construir uma potencial \varphi. Se \varphi existisse teríamos
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\sin y.
Integrando em x
\varphi(x,y,z)=x\sin y+g(y,z),
onde g é uma função arbitrária de y,z. Então
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=x\cos y+\frac{\partial g}{\partial y}.
Mas precisamos ter \partial\varphi/\partial y=-\cos x. Isso exigiria
x\cos y+\frac{\partial g}{\partial y}=-\cos x,
ou
\frac{\partial g}{\partial y}=-\cos x-x\cos y.
O lado direito depende de x, enquanto \partial g/\partial y não pode depender de x. Essa incompatibilidade reforça que não existe \varphi definida num domínio aberto.

Passo 6

Conclusão e observação final: o campo tem rotacional não nulo em geral ( \nabla\times\vec{p}=(0,0,\sin x-\cos y)), portanto não é conservativo em nenhum domínio aberto de \mathbb{R}^3. Tecnicamente, ele poderia coincidir com um gradiente se restringíssemos o domínio a uma superfície 2D onde \sin x-\cos y=0 (por exemplo, pontos satisfazendo y=\tfrac{\pi}{2}-x modulo 2\pi), mas essas restrições não são domínios abertos em \mathbb{R}^3 e portanto não contam como “domínio” no sentido usual para campos conservativos em multivariável. Assim, não existe função potencial definida em um domínio aberto que tenha \nabla\varphi=\vec{p}.

Resposta

Não é conservativo em nenhum domínio aberto de \mathbb{R}^3; portanto, não existe função potencial definida em um domínio aberto tal que \nabla\varphi=\vec{p}.

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