Verifique se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo, encontre uma função potencial.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo em algum domínio. Se for conservativo, temos que encontrar uma função potencial. Informações dadas que vamos usar: os componentes do campo são
Passo 2
O que significa “conservativo” e como testar? Vou explicar de maneira prática e direta. Um campo vetorial
definido num domínio aberto e simplesmente conectado de
é conservativo (ou seja, existe uma função potencial
tal que
) se, e somente se, o rotacional de
for o vetor nulo em todo esse domínio. O rotacional (curl) é definido por
Vou aplicar essa fórmula ao campo
.
Passo 3
Calculo das derivadas parciais que entram no rotacional.
-
-
(pois não depende de ).
Logo a componentedo rotacional é . -
(pois não depende de ). -
.
Logo a componentedo rotacional é . -
-
Logo a componentedo rotacional é .
Portanto
Passo 4
Interpretação do resultado: para o campo ser conservativo num domínio aberto e simplesmente conectado, precisamos de
em todo esse domínio. Aqui isso exigiria
Vou mostrar que essa igualdade não pode ser verdadeira em qualquer domínio aberto (isto é, não existe um aberto nonvazio em
onde
se anule identicamente).
Suponha, por contradição, que exista um aberto
tal que
para todo
. Fixe um ponto
. Como
é aberto, existem intervalos abertos em
e
ao redor de
tal que variando
com
permanecemos em
. Tomando derivada da igualdade
em relação a
com
fixo obtemos
em um intervalo de valores de
. Mas isso é impossível:
não pode ser zero em todo um intervalo aberto (é zero apenas em pontos isolados
). Essa contradição mostra que não existe aberto
onde
seja identicamente zero. Logo o rotacional não é nulo em nenhuma região aberta não trivial de
.
Passo 5
Outra maneira de ver a impossibilidade (útil para prova direta): tentar construir uma potencial
. Se
existisse teríamos
Integrando em
dá
onde
é uma função arbitrária de
. Então
Mas precisamos ter
. Isso exigiria
ou
O lado direito depende de
, enquanto
não pode depender de
. Essa incompatibilidade reforça que não existe
definida num domínio aberto.
Passo 6
Conclusão e observação final: o campo tem rotacional não nulo em geral (
), portanto não é conservativo em nenhum domínio aberto de
. Tecnicamente, ele poderia coincidir com um gradiente se restringíssemos o domínio a uma superfície 2D onde
(por exemplo, pontos satisfazendo
modulo
), mas essas restrições não são domínios abertos em
e portanto não contam como “domínio” no sentido usual para campos conservativos em multivariável. Assim, não existe função potencial definida em um domínio aberto que tenha
.
Resposta
Não é conservativo em nenhum domínio aberto de
; portanto, não existe função potencial definida em um domínio aberto tal que
.