<=adsto Identifique a cônica até chegar na equacão reduzida.
x^2-4 x y+4 y^2+x-2 y=0

Passo 1

O enunciado dá a cônica
x^2-4xy+4y^2+x-2y=0
que tem termo misto xy. Vamos primeiro classificar o tipo de cônica usando os invariantes e depois encontrar a forma reduzida.

Passo 2

Identificamos os coeficientes
a=1, b=-4, c=4, d=1, e=-2, f=0
O discriminante da parte quadrática é
De<aq = b^2-4ac = (-4)^2-4cdot1cdot4 =16-16 =0,
logo ou é parábola ou cônica degenerada (paralelas, coincidentes ou imaginárias). Para distinguir, note que a equação é quadrática em x com coeficientes dependentes de y; se for degenerada, deverá fatorar em duas retas.

Passo 3

Trate como uma quadrática em x:
x^2 + (1-4y),x + (4y^2-2y) = 0
O discriminante dessa quadrática é
De<ax = (1-4y)^2 -4,(4y^2-2y) =1 -8y+16y^2 -16y^2+8y =1
Como De<ax=1>0 e independe de y, existem duas raízes lineares em x:
x = -(1-4y)pm12 ;Longrightarrow; x = 2y ou x = 2y-1
Logo a equação fatora-se em
(x-2y),(x-2y+1)=0

Resposta

A cônica é degenerada e se reduz ao par de retas paralelas
x-2y=0 e x-2y+1=0

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