Verifique se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais:
(b) O conjunto de todas as funçōes continuas nāo decrescentes em
(b) O conjunto de todas as funçōes continuas nāo decrescentes em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um espaço vetorial sobre
. Vamos usar a definição de espaço vetorial e checar os axiomas principais: existência do vetor zero, fechamento na soma e fechamento na multiplicação por escalar.
Passo 2
Recordando a definição, um subespaço vetorial
deve satisfazer, entre outros, estes pontos:
.
.
. Se
então
.
. Se
e
então
.
Basta encontrar um desses que falhe para concluir que não é espaço vetorial.
Basta encontrar um desses que falhe para concluir que
Passo 3
Verificação de existência do zero e fechamento na soma:
A função zero é contínua e constante, logo não decrescente, então
.
Para e
temos
e
, daí
A função zero
Para
e como soma de funções contínuas é contínua, segue
. Portanto o zero e a soma não invalidam
.
Passo 4
Fechamento na multiplicação por escalar:
Se e
, então
continua não decrescente. Mas se
, o sinal inverte e
torna-se não crescente. Por exemplo,
em
está em
, mas para
Se
é estritamente decrescente, logo
. Portanto não há fechamento para todo escalar em
.
Passo 5
Como falha o axioma de fechamento na multiplicação por escalar, concluímos que
não é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
O conjunto das funções contínuas não decrescentes em
não é um espaço vetorial.