Verifique se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais:
(b) O conjunto de todas as funçōes continuas nāo decrescentes em |-1,1|

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
V = l,f:[-1,1]toRmid f é contínua e não decrescenter éíã
é um espaço vetorial sobre R. Vamos usar a definição de espaço vetorial e checar os axiomas principais: existência do vetor zero, fechamento na soma e fechamento na multiplicação por escalar.

Passo 2

Recordando a definição, um subespaço vetorial Vsubseteq W deve satisfazer, entre outros, estes pontos:
1. 0in V.
2. Se f,gin V então f+gin V.
3. Se fin V e cinR então c,fin V.
Basta encontrar um desses que falhe para concluir que V não é espaço vetorial.

Passo 3

Verificação de existência do zero e fechamento na soma:
A função zero f0(x)=0 é contínua e constante, logo não decrescente, então f0in V.
Para f,gin V e x<y temos f(x)<= f(y) e g(x)<= g(y), daí
(f+g)(x)=f(x)+g(x)<= f(y)+g(y)=(f+g)(y),
e como soma de funções contínuas é contínua, segue f+gin V. Portanto o zero e a soma não invalidam V.

Passo 4

Fechamento na multiplicação por escalar:
Se c>=0 e fin V, então c,f continua não decrescente. Mas se c<0, o sinal inverte e c,f torna-se não crescente. Por exemplo, f(x)=x em [-1,1] está em V, mas para c=-1
(-1),f(x)=-x
é estritamente decrescente, logo (-1),fnotin V. Portanto não há fechamento para todo escalar em R.

Passo 5

Como falha o axioma de fechamento na multiplicação por escalar, concluímos que V não é um espaço vetorial sobre R.

Resposta

O conjunto das funções contínuas não decrescentes em [-1,1] não é um espaço vetorial.

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