Verifique quais dos seguintes conjuntos são exemplos de espaços vetoriais do \mathbb{R}^{3}. Atenção, pode haver mais de uma alternativa verdadeira.
a. O parabolóide de revolução dado por z=\boldsymbol{x}^{2}+\boldsymbol{y}^{2}.
b. Uma reta na direção do vetor (1,2,3) e que passa pelo ponto (2,4,6).
c. Uma esfera de raio 3 e centro na origem.
d. Um plano que passa pela origem.
e. Um plano paralelo ao plano x y que passa pelo ponto (0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos, em cada caso, se o conjunto dado é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Para isso, precisamos checar três propriedades básicas:
  1. O vetor nulo \,(0,0,0) pertence ao conjunto.
  2. Fechamento sob adição: se \mathbf{u} e \mathbf{v} estão no conjunto, então \mathbf{u}+\mathbf{v} também está.
  3. Fechamento sob multiplicação escalar: se \mathbf{u} está no conjunto e \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha\,\mathbf{u} está no conjunto.

Passo 2

Analisando o parabolóide de revolução \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z = x^2 + y^2\}.
  • O vetor nulo (0,0,0) satisfaz 0 = 0^2 + 0^2, então está no conjunto.
  • Porém, para \mathbf{u}=(1,0,1) temos 1 = 1^2+0^2, logo \mathbf{u} está. Mas 2\,\mathbf{u} = (2,0,2) não satisfaz 2 = 2^2 + 0^2.
    Portanto falta fechamento escalar e não é subespaço.

Passo 3

Analisando a reta na direção de (1,2,3) que passa por (2,4,6).
Escreve-se esse conjunto como
\{(2,4,6) + t\,(1,2,3)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Verificamos que (0,0,0) ocorre para t=-2:
(2,4,6)+(-2)\,(1,2,3) = (0,0,0).
Além disso, qualquer ponto dessa reta pode ser escrito como (2+t)(1,2,3), isto é, é exatamente \operatorname{span}\{(1,2,3)\}, que é subespaço. Logo satisfaz todas as propriedades.

Passo 4

Analisando a esfera de raio 3 centrada na origem \{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2=9\}.
O vetor nulo (0,0,0) não satisfaz 0^2+0^2+0^2=9.
Logo não contém o vetor nulo e não é subespaço.

Passo 5

Analisando um plano que passa pela origem.
Todo plano que contém (0,0,0) pode ser escrito como
\{(x,y,z)\mid a x + b y + c z = 0\}
para alguns a,b,c, e é bem conhecido que isso é um subespaço (satisfaz as três propriedades). Portanto, esse plano é subespaço.

Passo 6

Analisando o plano paralelo ao plano xy e que passa por (0,0,1). Esse plano é dado por \{(x,y,z)\mid z=1\}.
O vetor nulo (0,0,0) não satisfaz 0=1, não pertence ao conjunto.
Logo não é subespaço.

Resposta

As únicas alternativas que são subespaços vetoriais de \mathbb{R}^3 são as (b) e (d).

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