Verifique quais dos seguintes conjuntos são exemplos de espaços vetoriais do
. Atenção, pode haver mais de uma alternativa verdadeira.
a. O parabolóide de revolução dado por
.
b. Uma reta na direção do vetor
e que passa pelo ponto
.
c. Uma esfera de raio 3 e centro na origem.
d. Um plano que passa pela origem.
e. Um plano paralelo ao plano
que passa pelo ponto
.
a. O parabolóide de revolução dado por
b. Uma reta na direção do vetor
c. Uma esfera de raio 3 e centro na origem.
d. Um plano que passa pela origem.
e. Um plano paralelo ao plano
Passo 1
O enunciado pede para verificarmos, em cada caso, se o conjunto dado é um subespaço vetorial de
. Para isso, precisamos checar três propriedades básicas:
- O vetor nulo
pertence ao conjunto. - Fechamento sob adição: se
e estão no conjunto, então também está. - Fechamento sob multiplicação escalar: se
está no conjunto e , então está no conjunto.
Passo 2
Analisando o parabolóide de revolução
.
- O vetor nulo
satisfaz , então está no conjunto. - Porém, para
temos , logo está. Mas não satisfaz .
Portanto falta fechamento escalar e não é subespaço.
Passo 3
Analisando a reta na direção de
que passa por
.
Escreve-se esse conjunto como
Escreve-se esse conjunto como
Verificamos que
ocorre para
:
Além disso, qualquer ponto dessa reta pode ser escrito como
, isto é, é exatamente
, que é subespaço. Logo satisfaz todas as propriedades.
Passo 4
Analisando a esfera de raio
centrada na origem
.
O vetor nulo não satisfaz
.
Logo não contém o vetor nulo e não é subespaço.
O vetor nulo
Logo não contém o vetor nulo e não é subespaço.
Passo 5
Analisando um plano que passa pela origem.
Todo plano que contém pode ser escrito como
Todo plano que contém
para alguns
, e é bem conhecido que isso é um subespaço (satisfaz as três propriedades). Portanto, esse plano é subespaço.
Passo 6
Analisando o plano paralelo ao plano
e que passa por
. Esse plano é dado por
.
O vetor nulo não satisfaz
, não pertence ao conjunto.
Logo não é subespaço.
O vetor nulo
Logo não é subespaço.
Resposta
As únicas alternativas que são subespaços vetoriais de
são as (b) e (d).