A=\left[\begin{array}{lll} a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i \end{array}\right]
(a) (0,5) Sabendo que \operatorname{det}(A)=10 encontre o valor do determinante da matriz
B=\left[\begin{array}{cccc} a & d & g & 1 \\\\ -2 b & -2 e & -2 h & 2 \\\ a+c & d+f & g+i & 3 \\\\ 2 a-b & 2 d-e & 2 g-h & 4 \end{array}\right]
(b) (2,0) A matriz B é invertível? Se sim, qualo valor do determinante de B^{-1} ?
Passo 1
O enunciado dá a matriz quadrada de ordem três
A=\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix}
com \det(A)=10, e define a matriz de ordem quatro
B=\begin{pmatrix} a & d & g & 1\\\\ -2b & -2e & -2h & 2\\\ a+c & d+f & g+i & 3\\\\ 2a-b & 2d-e & 2g-h & 4 \end{pmatrix}.
A parte (a) pede \det(B). A parte (b) pergunta se B é invertível e, em caso afirmativo, o valor de \det(B^{-1}). Vamos usar a propriedade de determinante de produto e reescrever B como produto de duas matrizes.
Passo 2
Observe que nas três primeiras colunas de B cada coluna é combinação linear de três vetores fixos em \mathbb{R}^4. Defina
u = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix},\quad v = \begin{pmatrix}0\\\ -2\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix},\quad w = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad e_4 = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix}.