Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{lll} a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i \end{array}\right]
(a) (0,5) Sabendo que \operatorname{det}(A)=10 encontre o valor do determinante da matriz
B=\left[\begin{array}{cccc} a & d & g & 1 \\\\ -2 b & -2 e & -2 h & 2 \\\ a+c & d+f & g+i & 3 \\\\ 2 a-b & 2 d-e & 2 g-h & 4 \end{array}\right]
(b) (2,0) A matriz B é invertível? Se sim, qualo valor do determinante de B^{-1} ?

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada de ordem três
A=\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix}
com \det(A)=10, e define a matriz de ordem quatro
B=\begin{pmatrix} a & d & g & 1\\\\ -2b & -2e & -2h & 2\\\ a+c & d+f & g+i & 3\\\\ 2a-b & 2d-e & 2g-h & 4 \end{pmatrix}.
A parte (a) pede \det(B). A parte (b) pergunta se B é invertível e, em caso afirmativo, o valor de \det(B^{-1}). Vamos usar a propriedade de determinante de produto e reescrever B como produto de duas matrizes.

Passo 2

Observe que nas três primeiras colunas de B cada coluna é combinação linear de três vetores fixos em \mathbb{R}^4. Defina
u = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix},\quad v = \begin{pmatrix}0\\\ -2\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix},\quad w = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad e_4 = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix}.
Então verifica-se
\text{col}_1(B)=a\,u + b\,v + c\,w,\quad \text{col}_2(B)=d\,u + e\,v + f\,w,\quad \text{col}_3(B)=g\,u + h\,v + i\,w,
e \text{col}_4(B)=e_4.

Passo 3

Defina a matriz V\in \mathbb{R}^{4\times4} cujas colunas são u,v,w,e_4, e a matriz \widetilde A\in\mathbb{R}^{4\times4} dada por
V = \bigl[u\; v\; w\; e_4\bigr],\qquad \widetilde A = \begin{pmatrix} a & b & c & 0\\\ d & e & f & 0\\\ g & h & i & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Então, multiplicando, cada coluna de V\,\widetilde A para j=1,2,3 é
\sum_{k=1}^4 V_{:,k}\,\widetilde A_{k,j} =\sum_{k=1}^3 V_{:,k}\,A_{k,j} = u\,A_{1,j}+v\,A_{2,j}+w\,A_{3,j}
que coincide com as três primeiras colunas de B, e a 4ª coluna é e_4\cdot1. Logo
B = V\,\widetilde A.

Passo 4

Da propriedade de determinantes de produto,
\det(B)=\det(V)\,\det(\widetilde A).
Como \widetilde A é bloco diagonal com bloco A e 1, tem \det(\widetilde A)=\det(A)\cdot1=10. Resta calcular \det(V).

Passo 5

Escrevendo
V = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & -2 &0 &2\\\\ 1 & 0 &1 &3\\\\ 2 & -1 &0 &4 \end{pmatrix},
note que a terceira coluna de V tem zeros em todas as linhas, exceto um 1 na 3ª linha. Expansão pelo cofactor na entrada (3,3)
\det(V) =1\cdot(-1)^{3+3}\det \begin{pmatrix} 1&0&1\\\\ 0&-2&2\\\\ 2&-1&4 \end{pmatrix}.
Calcule o determinante do 3\times3:
\det\begin{pmatrix} 1&0&1\\\\ 0&-2&2\\\\ 2&-1&4 \end{pmatrix} =1\cdot\bigl((-2)\cdot4-2\cdot(-1)\bigr) +1\cdot\bigl(0\cdot(-1)-(-2)\cdot2\bigr) =-6+4=-2.
Logo \det(V)=-2 e
\det(B)=\det(V)\,\det(A)=(-2)\cdot10=-20.

Passo 6

Como \det(B)=-20\neq0, a matriz B é invertível. Então
\det(B^{-1})=\frac1{\det(B)}=-\frac1{20}.

Resposta

\det(B)=-20.
Sim, B é invertível, e \det(B^{-1})=-\tfrac1{20}.

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