Verifique quais dos seguintes conjuntos são LD ou LI
A=\{(-1,2,4)\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto A=\{(-1,2,4)\} e pede para verificar se esse conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) ou linearmente independente (LI). Informações relevantes fornecidas:
  • O conjunto contém exatamente um vetor, que é (-1,2,4).
  • Não há mais vetores no conjunto.

Passo 2

Definição essencial (explicada devagar): um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação em que todos os coeficientes são zero. Em símbolos: um conjunto \{v_1,\dots,v_k\} é LI se a única solução do sistema
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\dots+\alpha_k v_k = (0,0,\dots,0)
é
\alpha_1=\alpha_2=\dots=\alpha_k=0.
Se existir uma solução com algum coeficiente diferente de zero, então o conjunto é LD.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso com apenas um vetor. Escrevemos a combinação linear escalar única:
\alpha\cdot(-1,2,4) = (0,0,0).
Isso significa que devemos encontrar todos os \alpha\in\mathbb{R} que satisfazem essa igualdade.

Passo 4

Converter a igualdade vetorial em equações por componentes. A igualdade
\alpha\cdot(-1,2,4) = (0,0,0)
é equivalente ao sistema de três equações:
\begin{cases} -1\cdot\alpha = 0,\\[4pt] 2\cdot\alpha = 0,\\[4pt] 4\cdot\alpha = 0. \end{cases}
Resolver qualquer uma das equações (por exemplo, -1\cdot\alpha=0) dá imediatamente
\alpha = 0.
As outras duas equações também ficam satisfeitas com \alpha=0. Não existe solução com \alpha\neq 0.]

Passo 5

Interpretação e regra prática para a prova (jeito rápido de checar): um conjunto que contém exatamente um vetor é linearmente independente se e somente se esse vetor for o vetor nulo. Aqui o vetor é (-1,2,4), que claramente não é o vetor nulo (0,0,0). Portanto a única solução da combinação linear acima é a solução trivial \alpha=0, o que prova que o conjunto é LI.

Resposta

A é linearmente independente.

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