Verifique quais dos seguintes conjuntos são LD ou LI
B=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado pede: verificar se o conjunto B é linearmente dependente (LD) ou linearmente independente (LI).
As informações dada pelo enunciado são as três matrizes (peguei estes valores do enunciado):
A_1=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\qquad A_2=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\qquad A_3=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 2

Primeiro vou explicar claramente o que significa ser LD ou LI (para você chegar tranquilo na prova):
  • Uma coleção de vetores (aqui, matrizes) é linearmente dependente se existem escalares, nem todos zero, tais que uma combinação linear deles dá a matriz zero. Em símbolos: existem \alpha,\beta,\gamma, nem todos zero, com
\alpha A_1+\beta A_2+\gamma A_3 = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
  • Se a única solução desse sistema for \alpha=\beta=\gamma=0, então os vetores são linearmente independentes.
Estratégia que vou usar (explico por quê): cada matriz 2\times2 pode ser vista como um vetor em \mathbb{R}^4 (basta listar as entradas). Assim transformo o problema em resolver um sistema linear de quatro equações e três incógnitas — se houver solução não trivial, o conjunto é LD. Esse é um método direto e mecânico, fácil de fazer sem calculadora.]

Passo 3

Vou transformar as matrizes em vetores usando a ordenação por linhas (row-major): \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\mapsto (a,b,c,d).
Aplicando isso às matrizes dadas (peguei os números das matrizes do enunciado):
v_1=(1,1,0,1),\qquad v_2=(1,-1,1,0),\qquad v_3=(2,0,1,1).

Passo 4

Escrevo a condição de dependência linear como combinação nula:
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=(0,0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema de quatro equações:
\begin{cases} \alpha+\beta+2\gamma=0,\\[4pt] \alpha-\beta=0,\\[4pt] \beta+\gamma=0,\\[4pt] \alpha+\gamma=0. \end{cases}
Cada linha corresponde a uma entrada da matriz (peguei as equações juntando as entradas correspondentes dos v_i).]

Passo 5

Agora resolvo esse sistema passo a passo (método de substituição, bem direto):
  • Da segunda equação \alpha-\beta=0 segue
\alpha=\beta.
  • Da terceira equação \beta+\gamma=0 segue
\beta=-\gamma.
Combinando as duas, obtemos
\alpha=\beta=-\gamma.
  • Verifico a quarta equação \alpha+\gamma=0. Substituindo \alpha=-\gamma temos -\gamma+\gamma=0, que é verdadeira — portanto é consistente.
  • A primeira equação \alpha+\beta+2\gamma=0 também fica, ao substituir \alpha=\beta=-\gamma,
(-\gamma)+(-\gamma)+2\gamma=0,
ou seja, 0=0. Portanto não impõe restrição adicional.
Conclusão do sistema: há infinitas soluções parametrizadas por um parâmetro, por exemplo tomando \gamma=t (qualquer t\in\mathbb{R}):
\alpha=-t,\qquad \beta=-t,\qquad \gamma=t.
Como existe solução com t\neq0, existe solução não trivial.

Passo 6

Aponto uma relação linear explícita e mostro de modo elementar (útil para prova): escolhendo t=1 obtemos
\alpha=-1,\quad \beta=-1,\quad \gamma=1,
ou seja
-1\cdot A_1 -1\cdot A_2 +1\cdot A_3 = 0.
Rearranjando,
A_3 = A_1 + A_2.
Faço a verificação por soma de matrizes (peguei os valores das matrizes do enunciado):
A_1+A_2=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=A_3.
Portanto A_3 é combinação linear de A_1 e A_2, o que mostra diretamente que o conjunto é linearmente dependente.]

Passo 7

Interpretação final e dica para a prova: sempre que puder, antes de montar o sistema, examine se alguma matriz é soma (ou combinação simples) das outras — às vezes resolve na hora. Se não for óbvio, passe a equacionar as entradas como fiz aqui e resolva o sistema por substituição ou escalonamento.

Resposta

Linearmente dependente.

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