Primeiro vou explicar claramente o que significa ser LD ou LI (para você chegar tranquilo na prova):
Uma coleção de vetores (aqui, matrizes) é linearmente dependente se existem escalares, nem todos zero, tais que uma combinação linear deles dá a matriz zero. Em símbolos: existem \alpha,\beta,\gamma, nem todos zero, com
Se a única solução desse sistema for \alpha=\beta=\gamma=0, então os vetores são linearmente independentes.
Estratégia que vou usar (explico por quê): cada matriz 2\times2 pode ser vista como um vetor em \mathbb{R}^4 (basta listar as entradas). Assim transformo o problema em resolver um sistema linear de quatro equações e três incógnitas — se houver solução não trivial, o conjunto é LD. Esse é um método direto e mecânico, fácil de fazer sem calculadora.]
Passo 3
Vou transformar as matrizes em vetores usando a ordenação por linhas (row-major): \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\mapsto (a,b,c,d).
Aplicando isso às matrizes dadas (peguei os números das matrizes do enunciado):
Portanto A_3 é combinação linear de A_1 e A_2, o que mostra diretamente que o conjunto é linearmente dependente.]
Passo 7
Interpretação final e dica para a prova: sempre que puder, antes de montar o sistema, examine se alguma matriz é soma (ou combinação simples) das outras — às vezes resolve na hora. Se não for óbvio, passe a equacionar as entradas como fiz aqui e resolva o sistema por substituição ou escalonamento.