Determine o subespaço gerado por cada um dos conjuntos abaixo:
A=\{(1,-1,2,2),(-2,2,3,3)\}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o subespaço gerado pelo conjunto A=\{(1,-1,2,2),(-2,2,3,3)\}.
Informações dadas (os dois vetores do conjunto):
v_1=(1,-1,2,2),\qquad v_2=(-2,2,3,3).
O objetivo é descrever o conjunto
\mathrm{span}(A)=\{\,\alpha v_1+\beta v_2 \mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\,\}
de forma explícita (por exemplo com uma descrição por coordenadas e/ou uma base).

Passo 2

O que significa “subespaço gerado”: é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores dados. Vou escrever uma combinação linear genérica com parâmetros s e t (usar letras simples ajuda a pensar):
s v_1 + t v_2 = s(1,-1,2,2)+t(-2,2,3,3),\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Isto é exatamente a definição de \mathrm{span}(A).

Passo 3

Calculo a combinação linear componente a componente para ver a forma geral de um vetor em \mathrm{span}(A):
s(1,-1,2,2)+t(-2,2,3,3) = (s-2t,\; -s+2t,\; 2s+3t,\; 2s+3t).
Vou chamar as coordenadas resultantes de (x_1,x_2,x_3,x_4). Assim qualquer vetor no span tem
x_1 = s-2t,\qquad x_2 = -s+2t,\qquad x_3 = 2s+3t,\qquad x_4 = 2s+3t.

Passo 4

Observo relações imediatas entre as coordenadas:
  • Soma das duas primeiras coordenadas:
x_1+x_2 = (s-2t)+(-s+2t)=0.
Logo sempre vale x_2=-x_1.
  • Terceira e quarta coordenadas:
x_3-x_4 = (2s+3t)-(2s+3t)=0.
Logo sempre vale x_3=x_4.
Portanto qualquer vetor da forma obtida satisfaz
(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x,-x,y,y)
para algum x,y\in\mathbb{R}. Assim
\mathrm{span}(A)\subseteq\{(x,-x,y,y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}.

Passo 5

Agora preciso mostrar a inclusão inversa: que todo vetor da forma (x,-x,y,y)\) pertence ao span. Para isso resolvo o sistema que relaciona \(s,t\) com \(x,y\): \[\begin{cases} s-2t = x,\\[4pt] 2s+3t = y. \end{cases}
Vou resolver por eliminação. Multiplicando a primeira equação por 2\]: \[2s-4t = 2x.\] Subtraindo essa da segunda equação: \[(2s+3t)-(2s-4t)=7t = y-2x.\] Logo \[t = \dfrac{y-2x}{7}.\] Substituindo em \(s-2t=x:
s = x+2t = x+2\cdot\dfrac{y-2x}{7} = \dfrac{3x+2y}{7}.
Concluímos que para quaisquer x,y\in\mathbb{R} existem s,t\in\mathbb{R} (explicitamente dados acima) tais que
s v_1 + t v_2 = (x,-x,y,y).
Portanto
\{(x,-x,y,y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}\subseteq\mathrm{span}(A).]

Passo 6

Juntando as duas inclusões obtenho igualdade:
\mathrm{span}(A)=\{(x,-x,y,y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}.
Isto mostra também que \mathrm{span}(A) é um subespaço de dimensão 2 (dois parâmetros x,y). Uma base conveniente é formada por separar os parâmetros:
(1,-1,0,0)\quad\text{e}\quad(0,0,1,1).
Ou seja,
\mathrm{span}(A)=\mathrm{span}\{(1,-1,0,0),(0,0,1,1)\}.
Note que esses vetores estão dentro de \mathrm{span}(A) (podem ser obtidos como combinações lineares de v_1 e v_2, conforme cálculo do passo anterior).

Passo 7

Resumo final e comentário de incentivo: o subespaço gerado por A é o plano de todos os vetores de \mathbb{R}^4 cuja segunda coordenada é o oposto da primeira e cuja quarta coordenada é igual à terceira. É um plano bidimensional; guardar a forma (x,-x,y,y) facilita usar esse subespaço em exercícios de soma direta, interseção, projeção etc. Você conseguiu — primeiro identificar relações entre coordenadas e depois mostrar que qualquer vetor com essas relações vem da combinação linear!

Resposta

\mathrm{span}(A)=\{(x,-x,y,y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}=\mathrm{span}\{(1,-1,0,0),(0,0,1,1)\}

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