Determine o subespaço gerado por cada um dos conjuntos abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o subespaço gerado pelo conjunto
.
Informações dadas (os dois vetores do conjunto):
O objetivo é descrever o conjunto
de forma explícita (por exemplo com uma descrição por coordenadas e/ou uma base).
Passo 2
O que significa “subespaço gerado”: é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores dados. Vou escrever uma combinação linear genérica com parâmetros
e
(usar letras simples ajuda a pensar):
Isto é exatamente a definição de
.
Passo 3
Calculo a combinação linear componente a componente para ver a forma geral de um vetor em
:
Vou chamar as coordenadas resultantes de
. Assim qualquer vetor no span tem
Passo 4
Observo relações imediatas entre as coordenadas:
- Soma das duas primeiras coordenadas:
Logo sempre vale
.
- Terceira e quarta coordenadas:
Logo sempre vale
.
Portanto qualquer vetor da forma obtida satisfaz
para algum
. Assim
Passo 5
Agora preciso mostrar a inclusão inversa: que todo vetor da forma
Vou resolver por eliminação. Multiplicando a primeira equação por
:
Concluímos que para quaisquer
existem
(explicitamente dados acima) tais que
Portanto
Passo 6
Juntando as duas inclusões obtenho igualdade:
Isto mostra também que
é um subespaço de dimensão
(dois parâmetros
). Uma base conveniente é formada por separar os parâmetros:
Ou seja,
Note que esses vetores estão dentro de
(podem ser obtidos como combinações lineares de
e
, conforme cálculo do passo anterior).
Passo 7
Resumo final e comentário de incentivo: o subespaço gerado por
é o plano de todos os vetores de
cuja segunda coordenada é o oposto da primeira e cuja quarta coordenada é igual à terceira. É um plano bidimensional; guardar a forma
facilita usar esse subespaço em exercícios de soma direta, interseção, projeção etc. Você conseguiu — primeiro identificar relações entre coordenadas e depois mostrar que qualquer vetor com essas relações vem da combinação linear!