Verifique quais dos seguintes conjuntos são LD ou LI
C=\{(1,-2,0,0),(0,3,1,-1),(1,0,1,2),(3,2,0,3)\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
C=\{(1,-2,0,0),\;(0,3,1,-1),\;(1,0,1,2),\;(3,2,0,3)\}
é linearmente dependente (LD) ou linearmente independente (LI).
Informações dadas (peguei os vetores diretamente do enunciado):
  • v_1=(1,-2,0,0)
  • v_2=(0,3,1,-1)
  • v_3=(1,0,1,2)
  • v_4=(3,2,0,3)
O que é pedido:
  • Determinar se existe uma combinação linear não-trivial c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 + c_4 v_4 = 0 com algum c_i\neq 0. Se existir, o conjunto é LD; se a única solução for c_1=c_2=c_3=c_4=0, o conjunto é LI.

Passo 2

Estratégia (explicando didaticamente): para testar independência linear resolvemos o sistema homogêneo
c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 + c_4 v_4 = 0.
Escrevendo as incógnitas como c_1,c_2,c_3,c_4 e colocando os vetores como colunas, obtemos a matriz cujas colunas são os vetores. Se a única solução for a trivial, o conjunto é LI; caso contrário, é LD. Vamos montar essa matriz e aplicar eliminação de Gauss.
Matriz com as colunas v_1,v_2,v_3,v_4:
A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\\\ -2 & 3 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \qquad A\begin{pmatrix}c_1\c_2\c_3\c_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicando eliminação de Gauss passo a passo (vou explicar cada operação e por que faço):
Começo com
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\\\ -2 & 3 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
  1. Usar o pivô 1 na primeira linha para eliminar abaixo na coluna 1: faço R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1. Isso zera a entrada -2 em R_2.
    Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 3 & 2 & 8 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
  1. Para facilitar, troco R_2 com R_3 porque R_3 tem entrada 1 na coluna 2 (um pivô menor e mais simples). Troca de linhas não altera a independência (só muda sinal do determinante, que não nos interessa agora).
    Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 3 & 2 & 8 \\\\ 0 & -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
  1. Eliminar abaixo da coluna 2 usando o pivô 1 em R_2:
  • R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2 zera a entrada 3 em R_3.
  • R_4 \leftarrow R_4 + R_2 zera a entrada -1 em R_4.
    Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 8 \\\\ 0 & 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}.
  1. Usar pivô -1 em R_3 (coluna 3) para eliminar a entrada 3 em R_4: faço R_4 \leftarrow R_4 + 3R_3 (porque 3 + 3\cdot(-1)=0).
    Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 8 \\\\ 0 & 0 & 0 & 27 \end{pmatrix}.
Agora a matriz está em forma triangular superior com entradas diagonais 1,1,-1,27.

Passo 4

Interpretação dos pivôs e solução do sistema homogêneo: a forma triangular mostra equações (cada linha corresponde a uma equação para c_1,\dots,c_4):
Da última linha:
27 c_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_4 = 0.
Da terceira linha:
-1\cdot c_3 + 8 c_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad -c_3 + 8\cdot 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_3 = 0.
Da segunda linha:
c_2 + 1\cdot c_3 + 0\cdot c_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_2 + 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_2 = 0.
Da primeira linha:
c_1 + 0\cdot c_2 + 1\cdot c_3 + 3\cdot c_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_1 + 0 + 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_1 = 0.
Portanto a única solução do sistema homogêneo é c_1=c_2=c_3=c_4=0.
Comentário didático: quando a redução de uma matriz de colunas produz pivôs não nulos em todas as colunas (ou equivalentemente a matriz tem posto igual ao número de vetores), o sistema homogêneo tem só a solução trivial — isso é exatamente a definição de linearmente independente.

Passo 5

Conclusão e observação extra: como o único vetor de coeficientes que satisfaz c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 + c_4 v_4 = 0 é o vetor nulo, os vetores são linearmente independentes.
Uma observação alternativa (mais curta, para o futuro): como ao final obtivemos pivôs não nulos em todas as quatro linhas/colunas, a matriz tem posto 4. Em \mathbb{R}^4, quatro vetores com posto 4 formam um conjunto linearmente independente (e chegam a uma base). Outra maneira equivalente seria calcular o determinante da matriz formada por esses vetores como colunas; ele seria diferente de zero.

Resposta

C é linearmente independente (LI).

Exercícios relacionados