é linearmente dependente (LD) ou linearmente independente (LI).
Informações dadas (peguei os vetores diretamente do enunciado):
v_1=(1,-2,0,0)
v_2=(0,3,1,-1)
v_3=(1,0,1,2)
v_4=(3,2,0,3)
O que é pedido:
Determinar se existe uma combinação linear não-trivial c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 + c_4 v_4 = 0 com algum c_i\neq 0. Se existir, o conjunto é LD; se a única solução for c_1=c_2=c_3=c_4=0, o conjunto é LI.
Passo 2
Estratégia (explicando didaticamente): para testar independência linear resolvemos o sistema homogêneo
c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 + c_4 v_4 = 0.
Escrevendo as incógnitas como c_1,c_2,c_3,c_4 e colocando os vetores como colunas, obtemos a matriz cujas colunas são os vetores. Se a única solução for a trivial, o conjunto é LI; caso contrário, é LD. Vamos montar essa matriz e aplicar eliminação de Gauss.
Para facilitar, troco R_2 com R_3 porque R_3 tem entrada 1 na coluna 2 (um pivô menor e mais simples). Troca de linhas não altera a independência (só muda sinal do determinante, que não nos interessa agora).
Resultado:
Portanto a única solução do sistema homogêneo é c_1=c_2=c_3=c_4=0.
Comentário didático: quando a redução de uma matriz de colunas produz pivôs não nulos em todas as colunas (ou equivalentemente a matriz tem posto igual ao número de vetores), o sistema homogêneo tem só a solução trivial — isso é exatamente a definição de linearmente independente.
Passo 5
Conclusão e observação extra: como o único vetor de coeficientes que satisfaz c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 + c_4 v_4 = 0 é o vetor nulo, os vetores são linearmente independentes.
Uma observação alternativa (mais curta, para o futuro): como ao final obtivemos pivôs não nulos em todas as quatro linhas/colunas, a matriz tem posto 4. Em \mathbb{R}^4, quatro vetores com posto 4 formam um conjunto linearmente independente (e chegam a uma base). Outra maneira equivalente seria calcular o determinante da matriz formada por esses vetores como colunas; ele seria diferente de zero.