Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de espaço vetorial dado.
V=\mathbb{R}^{3}, W=\left\{(x, x+2,0) \in \mathbb{R}^{3} \mid x \in \mathbb{R}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se W = \{(x,\,x+2,\,0)\in\mathbb{R}^3 \mid x\in\mathbb{R}\}
é subespaço vetorial de V=\mathbb{R}^3.
O conteúdo usado será a definição de subespaço: um subconjunto de espaço vetorial é subespaço se, e somente se, satisfaz
  1. contém o vetor zero;
  2. é fechado sob soma de vetores;
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Vamos primeiro testar a condição mais simples: o vetor zero de \mathbb{R}^3, que é (0,0,0), deve pertencer a W. Se (0,0,0)\in W, então existem x\in\mathbb{R} tais que
(0,0,0) = (x,\,x+2,\,0).
Isso gera o sistema
\begin{cases} x = 0,\\\ x + 2 = 0,\\\\ 0 = 0. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação temos x=0, mas da segunda temos x=-2. Não há x que satisfaça simultaneamente as duas condições. Portanto
(0,0,0)\notin W.

Passo 4

Como W não contém o vetor zero, já falha a primeira condição da definição de subespaço. Logo não precisamos nem verificar as outras propriedades: W não é subespaço de \mathbb{R}^3.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V=\mathbb{R}^3.

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